2東海大学 2024年 数学 第2問解答・解説

表の3値の平均・分散と偏差から統計量を計算し、最後は二次関数の端点比較で必要十分条件を求めた。

(1)
$x=0$ のとき、表2の3年分の資産は $9,15,9$（万円）なので
$$f(0)=\frac{9+15+9}{3}=11.$$
$x=1$ のときは $21,9,6$（万円）で、その平均は $12$ である。よって分散は
$$g(1)=\frac{(21-12)^2+(9-12)^2+(6-12)^2}{3} =\frac{81+9+36}{3}=42.$$

(2)
Aのデータの平均は $11$、Bのデータの平均は $12$ である。各年の偏差はそれぞれ
$$(-2,4,-2),\qquad (9,-3,-6).$$
従って偏差積の和は $-18$、偏差平方和はAについて $24$、Bについて $126$ である。相関係数は
$$\frac{-18}{\sqrt{24\cdot126}}=-\frac{3}{2\sqrt{21}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}.$$

(3)
表2の資産は $9+12x,\ 15-6x,\ 9-3x$ なので
$$f(x)=\frac{(9+12x)+(15-6x)+(9-3x)}3=11+x.$$
これは $0\leqq x\leqq1$ で増加するから、最大となるのは $x=1$ のときで、最大値は $12$ である。

(4)
平均 $f(x)=11+x$ からの偏差は
$$-2+11x,\qquad 4-7x,\qquad -2-4x$$
である。したがって
$$\begin{aligned} g(x)&=\frac{(-2+11x)^2+(4-7x)^2+(-2-4x)^2}{3}\\ &=62x^2-28x+8\\ &=62\left(x-\frac7{31}\right)^2+\frac{150}{31}. \end{aligned}$$$$g(x)=\frac{(-2+11x{)}^2+(4-7x{)}^2+(-2-4x{)}^2}{3}$$$$=62x^2-28x+8$$$$=62{\left(x-\frac{7}{31}\right)}^2+\frac{150}{31}.$$
$0\leqq7/31\leqq1$ であるから、$g(x)$ が最小となるのは $x=7/31$ のときである。

(5)
$$h(x)=(11+x)^2-a(62x^2-28x+8) =(1-62a)x^2+(22+28a)x+121-8a.$$
$a\geqq1/10$ より $1-62a<0$ である。$0\leqq x\leqq1$ に対し
$$h(1)-h(x)=(1-x)\{(1-62a)(1+x)+22+28a\}.$$
中括弧は $x$ の減少関数なので、その区間での最小値は $x=1$ のときの
$$2(1-62a)+22+28a=24-96a$$
である。よって $h(1)\geqq h(x)$ が$0\leqq x\leqq1$ を満たすすべての $x$ で成り立つための必要十分条件は $24-96a\geqq0$、すなわち $a\leqq1/4$ である。これと仮定 $a\geqq1/10$ を合わせると
$$\frac1{10}\leqq a\leqq\frac14.$$