2東邦大学 2025年 数学 第2問解答・解説

Cを原点とする位置ベクトルで各内分点と交点を表し、面積比と交点Sの比を係数比較で求めた。

$\vec{CA}=\vec a,\ \vec{CB}=\vec b$ とし、$C$ を原点とする。内分比の定義から $$\vec{CP}=\frac23\vec b,\qquad \vec{CQ}=\frac37\vec a.$$ 線分 $AP$ 上の点は $(1-t)\vec a+\frac{2t}{3}\vec b$、線分 $BQ$ 上の点は $\frac{3s}{7}\vec a+(1-s)\vec b$ と表せる。係数を比較すると $1-t=3s/7,\ 2t/3=1-s$ なので $t=4/5,\ s=7/15$。したがって $$\vec{CO}=\frac15\vec a+\frac8{15}\vec b.$$ 三角形の面積を比べると、$\triangle OAC$ と $\triangle ABC$ は共通の底辺 $AC$ をもち、高さの比は $8/15$ である。また $\triangle OBC$ と $\triangle ABC$ は共通の底辺 $BC$ をもち、高さの比は $1/5$ である。ゆえに $$\frac{\triangle OAC}{\triangle OBC}=\frac{8/15}{1/5}=\frac83.$$

次に、$S=(1-u)P+uQ\ (0<u<1)$ とおけば $$\vec{CS}=\frac{3u}{7}\vec a+\frac{2(1-u)}3\vec b.$$ $S$ は直線 $OC$ 上にもあるから、$\vec a,\vec b$ の係数の比は $(1/5):(8/15)=3:8$ である。したがって $$\frac{3u/7}{2(1-u)/3}=\frac38,\qquad u=\frac7{19}.$$ よって $PS:QS=u:(1-u)=7:12$、すなわち $PS/QS=7/12$。