1藤田医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 2学年を合わせた平均と分散

全体の平均は人数で重み付けして
$$\bar x=\frac{40\cdot10+60\cdot25}{100} =\frac{1900}{100}=19.$$
分散は各学年内の偏差平方和と、学年平均と全体平均との偏差平方和を合わせて求める。
$$\begin{aligned} V &=\frac{40\cdot20+60\cdot20 +40(10-19)^2+60(25-19)^2}{100}\\ &=\frac{2000+40\cdot81+60\cdot36}{100} =\frac{7400}{100}=74. \end{aligned}$$$$V=\frac{40\cdot 20+60\cdot 20+40(10-19{)}^2+60(25-19{)}^2}{100}$$$$=\frac{2000+40\cdot 81+60\cdot 36}{100}=\frac{7400}{100}=74.$$
したがって $\boxed{\text{アイ}=19,\ \text{ウエ}=74}$。

(2) 整数解

左辺をまとめると
$$\begin{aligned} &(x-7)(x-5)(x+1)(x+7)-405\\ &=(x^2-49)(x^2-4x-5)-405\\ &=x^4-4x^3-54x^2+196x-160\\ &=(x^2-10x+16)(x^2+6x-10). \end{aligned}$$$$(x-7)(x-5)(x+1)(x+7)-405$$$$=(x^2-49)(x^2-4x-5)-405$$$$=x^4-4x^3-54x^2+196x-160$$$$=(x^2-10x+16)(x^2+6x-10).$$
よって方程式は
$$(x^2-10x+16)(x^2+6x-10)=0.$$
前者の解は $x=2,8$。後者の解は
$$x=-3\pm\sqrt{19}$$
であり、$\sqrt{19}$ は整数でないから整数解ではない。従って整数解は $2<8$ の2つで、
$$\boxed{\text{オ}=2,\quad\text{カ}=8}.$$

(3) 3個のさいころの積が8で割り切れる確率

1回の出目が持つ因数2の個数を考える。各さいころで、奇数 $1,3,5$ は3通り、因数2をちょうど1個持つ $2,6$ は2通り、因数2を2個持つ $4$ は1通りである。積が8で割り切れる条件は、3個の出目に含まれる因数2の個数の合計が3以上となること。

全 $6^3=216$ 通りから、合計が2以下の場合を引く。
$$\begin{array}{ll} \text{合計0:}&3^3=27,\\ \text{合計1:}&3\cdot2\cdot3^2=54,\\ \text{合計2:}&3\cdot1\cdot3^2+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\cdot2^2\cdot3=27+36=63. \end{array}$$
合計2の内訳は、1個が4で残りが奇数の場合と、2個が2または6で残りが奇数の場合である。従って積が8で割り切れるのは
$$216-(27+54+63)=72$$
通りであり、確率は
$$\frac{72}{216}=\boxed{\frac13}.$$
よって $\boxed{\text{キ}=1,\ \text{ク}=3}$。

(4) 対数方程式

対数の条件は $x>0,\ x\ne1$。$t=\log_3 x$ とおくと $t\ne0$ で、
$$\log_9x=\frac t2,\qquad \log_x3=\frac1t.$$
従って
$$\frac t2+\frac4t=3 \quad\text{すなわち}\quad t^2-6t+8=0 \quad\text{すなわち}\quad (t-2)(t-4)=0.$$
よって $x=3^2=9$ または $x=3^4=81$。このうち2桁の整数は81だけなので
$$\boxed{\text{ケコ}=81}.$$

(5) 三角関数式の最小値

$s=\sin x+\cos x$ とおくと
$$\sin2x=s^2-1,\qquad -\sqrt2\leqq s\leqq\sqrt2.$$
式は
$$4\sin2x-5\sin x-5\cos x+6 =4s^2-5s+2 =4\left(s-\frac58\right)^2+\frac7{16}.$$
$s=5/8$ は可能な範囲に含まれ（例えば $\sin(x+\pi/4)=5/(8\sqrt2)$ を満たす実数 $x$ がある）、平方項が0となる。従って最小となる条件と最小値は
$$\boxed{\sin x+\cos x=\frac58},\qquad \boxed{\frac7{16}}.$$
よって $\boxed{\text{サ}=5,\ \text{シ}=8,\ \text{ス}=7,\ \text{セソ}=16}$。

(6) 数列の差の比

$d_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。漸化式から
$$d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1} =(3a_{n+1}+2)-(3a_n+2)=3d_n.$$
したがって4段階進めば $d_{n+4}=3^4d_n=81d_n$。また
$$a_{16}-a_{13}=d_{13}+d_{14}+d_{15},\qquad a_{12}-a_9=d_9+d_{10}+d_{11}.$$
各分子側の項は対応する分母側の項の81倍なので比は81（分母は正）。よって
$$\boxed{\text{タチ}=81}.$$

(7) 極限

$t=\sqrt[3]{x}$ とおくと $t\to2$、$x=t^3$ である。分子を因数分解して
$$x^2-9x+8=(x-8)(x-1) =(t-2)(t^2+2t+4)(t^3-1).$$
従って
$$\lim_{x\to8}\frac{x^2-9x+8}{\sqrt[3]x-2} =(2^2+2\cdot2+4)(2^3-1)=12\cdot7=84.$$
よって $\boxed{\text{ツテ}=84}$。

(8) ベクトルの内積

条件 $3\vec a+5\vec b+6\vec c=\vec0$ より
$$6\vec c=-(3\vec a+5\vec b).$$
両辺の長さを2乗し、各ベクトルの長さが1であることを使うと
$$36=|3\vec a+5\vec b|^2 =9+25+30(\vec a\cdot\vec b).$$
従って
$$\vec a\cdot\vec b=\frac{36-34}{30}=\frac1{15}, \qquad \boxed{\text{ト}=1,\ \text{ナニ}=15}.$$

(9) 4次方程式の実数解

係数 $a,b$ は実数なので、$1+i$ が解なら共役な $1-i$ も解である。対応する2次因子は
$$(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2.$$
残りの因子を $x^2+ux+v$ とおき、
$$(x^2-2x+2)(x^2+ux+v) =x^4+(u-2)x^3+(v-2u+2)x^2+(-2v+2u)x+2v$$
を与式と係数比較する。$x^2$ 項と $x$ 項から
$$v-2u+2=2,\qquad -2v+2u=2,$$
従って $u=-1,\ v=-2$。よって残りの因子は
$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
実数解は $-1,2$ であるから、解答欄は
$$\boxed{\text{ヌ}=-,\ \text{ネ}=1,\ \text{レ}=2}.$$

(10) 微分係数

$$g(x)=\frac{(x-6)^3}{(x-4)^2(x+2)},\qquad f(x)=g(x)^{1/4}$$
とおく。$x=7$ の近くで $g(x)>0$ なので対数微分を使える。
$$g(7)=\frac1{81},\qquad f(7)=\frac13,$$
また
$$\frac{f'(x)}{f(x)} =\frac14\frac{g'(x)}{g(x)} =\frac14\left(\frac3{x-6}-\frac2{x-4}-\frac1{x+2}\right).$$
したがって
$$\frac{f'(7)}{f(7)} =\frac14\left(3-\frac23-\frac19\right) =\frac59, \qquad f'(7)=\frac13\cdot\frac59=\frac5{27}.$$
よって $\boxed{\text{ハ}=5,\ \text{ヒフ}=27}$。

(11) 定積分

$u=\cos x$ と置換すると $du=-\sin x\,dx$、$\sin^2x=1-u^2$ だから
$$\begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin^5x\,dx &=\int_0^{\pi/2}\sin x(1-\cos^2x)^2\,dx\\ &=\int_0^1(1-u^2)^2\,du\\ &=\left[u-\frac23u^3+\frac15u^5\right]_0^1 =1-\frac23+\frac15=\frac8{15}. \end{aligned}$$$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{5}xdx={\int }_0^{\pi /2}\sin x(1-{\cos }^{2}x{)}^{2}dx$$$$={\int }_0^1(1-u^2{)}^{2}du$$$$={\left[u-\frac{2}{3}{u}^3+\frac{1}{5}{u}^5\right]}_0^1=1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}.$$
従って $\boxed{\text{ヘ}=8,\ \text{ホマ}=15}$。