I愛知医科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

第I問

1)(a) 素因数分解すると
$$2024=8\cdot253=2^3\cdot11\cdot23.$$
したがって正の約数の個数は
$$(3+1)(1+1)(1+1)=16.$$

1)(b) 約数の総和は各素因数の指数を選ぶ和の積より
$$(1+2+2^2+2^3)(1+11)(1+23)=15\cdot12\cdot24=4320.$$

2)(a) 各試合の勝敗は独立にAまたはBが確率 $1/2$ で勝つ。4試合目で初めて優勝が決まるには、4試合すべて同じ方が勝つ必要がある。よって
$$2\left(\frac12\right)^4=\frac18.$$

2)(b) 6試合目で優勝する者は、最初の5試合でちょうど3勝し、6試合目にも勝つ。最初の5試合における勝者の選び方は ${}_{5}\mathrm{C}_{3}$ 通りで、最終勝者はA,Bの2通り。全6試合の勝敗列は $2^6$ 通りだから
$$\frac{2\cdot{}_{5}\mathrm{C}_{3}}{2^6}=\frac{20}{64}=\frac5{16}.$$

3)(a) $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{b}=\overrightarrow{OB}$、$\vec{c}=\overrightarrow{OC}$ とおく。$\vec{c}=-\vec{a}-\vec{b}$ なので
$$36=|\vec{c}|^2=|\vec{a}+\vec{b}|^2 =25+16+2\vec{a}\cdot\vec{b}.$$
従って
$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac52.$$

3)(b) $\theta=\angle AOB$ とすると
$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} =\frac{-5/2}{5\cdot4}=-\frac18.$$
$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でないので $0<\theta<\pi$、よって
$$\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{3\sqrt7}{8},\qquad [OAB]=\frac12\cdot5\cdot4\cdot\frac{3\sqrt7}{8} =\frac{15\sqrt7}{4}.$$
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ より $O$ は $\triangle ABC$ の重心である。重心は三角形を同面積の3つの三角形に分けるので
$$[ABC]=3[OAB]=\frac{45\sqrt7}{4}.$$

4) $a>0$ より分母 $(x^2+a)^{3/2}$ は常に正であり、
$$\begin{aligned} f'(x) &=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}-\frac{x}{(x^2+a)^{3/2}}\\ &=\frac{x(x^2+a-1)}{(x^2+a)^{3/2}}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}-\frac{x}{(x^2+a{)}^{3/2}}$$$$=\frac{x(x^2+a-1)}{(x^2+a{)}^{3/2}}.$$
臨界点が $x=0$ のほかに存在するのは $0<a<1$ のときで、そのとき $r=\sqrt{1-a}>0$ とおくと、導関数の符号は
$$x<-r:-,\quad-r<x<0:+,\quad0<x<r:-,\quad x>r:+$$
の順である。従って $x=0$ で極大、$x=\pm r$ で極小となる。極値は
$$f(0)=\sqrt a+\frac1{\sqrt a},\qquad f(\pm r)=1+1=2.$$
$a\geqq1$ では $x^2+a-1\geqq0$ となり、$f'$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正なので極大値をもたない。よって条件は $0<a<1$ である。

$$\boxed{ \begin{gathered} 1)(a)\ 16,\quad 1)(b)\ 4320,\quad 2)(a)\ \frac18,\quad 2)(b)\ \frac5{16},\\ 3)(a)\ -\frac52,\quad 3)(b)\ \frac{45\sqrt7}{4},\\ 4)(a)\ x(x^2+a-1),\quad 4)(b)\ 1,\quad 4)(c)\ \sqrt a+\frac1{\sqrt a},\quad 4)(d)\ 2 \end{gathered}}$$