1東京慈恵会医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

4回の取り出しは復元抽出なので、各順序つき4組 $(r_1,r_2,r_3,r_4)$ は $5^4=625$ 通りあり、すべて同様に確からしい。

(ア) $r_1+r_2+r_3+r_4\leqq8$

$s_i=r_i-1\ (1\leqq i\leqq4)$ と置くと、$s_i$ は $0$ 以上の整数で
$$r_1+r_2+r_3+r_4\leqq8 \quad\text{すなわち}\quad s_1+s_2+s_3+s_4\leqq4.$$
この不等式の解の個数は、余りを $s_5=4-(s_1+s_2+s_3+s_4)\geqq0$ として加えれば、5個の非負整数の和が4となる解の個数に等しい。星取り法より
$${}_{4+5-1}\mathrm{C}_{5-1}={}_{8}\mathrm{C}_{4}=70.$$
このとき各 $s_i\leqq4$ は自動的に満たされる。したがって
$$\boxed{\text{ア}=\frac{70}{625}=\frac{14}{125}}.$$

(イ) $\frac4{r_1r_2}+\frac2{r_3r_4}=1$

$x=r_1r_2,\ y=r_3r_4$ と置くと、$x,y$ は正の整数であり、条件は
$$\frac4x+\frac2y=1 \quad\text{すなわち}\quad xy-2x-4y=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-4)(y-2)=8.$$
$x,y\geqq1$ だから、正の因数の組から得られる候補は
$$(x,y)=(5,10),(6,6),(8,4),(12,3).$$
負の因数の組では $x<4,\ y<2$ が必要であり、$x\geqq1,\ y\geqq1$ より $(4-x)(2-y)\leqq3$ だから積8にはならない。いずれの候補も、1から5までの積として実現できる。順序つき対 $(r_1,r_2)$ の個数と $(r_3,r_4)$ の個数を数えると、
$$\begin{array}{c|c|c|c} (x,y)&r_1r_2=x\text{ の個数}&r_3r_4=y\text{ の個数}&\text{組の個数}\\ \hline (5,10)&2&2&4\\ (6,6)&2&2&4\\ (8,4)&2&3&6\\ (12,3)&2&2&4 \end{array}$$
よって条件を満たす4組は $4+4+6+4=18$ 通りであり、
$$\boxed{\text{イ}=\frac{18}{625}}.$$