3旭川医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

問1 (1)　1から30までの4の倍数は $4,8,\cdots,28$ の7個、6の倍数は $6,12,\cdots,30$ の5個、12の倍数は $12,24$ の2個である。よって、求める個数は $7+5-2=10$ 個。
問1 (2)　2の倍数は $2,4,\cdots,30$ の15個ある。4の倍数または6の倍数である偶数は (1) より $7+5-2=10$ 個なので、求める個数は $15-10=5$ 個。

問2 (1)　1から30までの12の倍数は 12, 24 の2個である。全体の組合せ ${}_{30}\mathrm{C}_{2}=435$ 通りから、どちらも12の倍数でない組 ${}_{28}\mathrm{C}_{2}=378$ 通りを引くと、$435-378=57$ 通り。
問2 (2)　積が12の倍数となるのは、積が4の倍数かつ3の倍数であるときである。全体は ${}_{30}\mathrm{C}_{2}=435$ 通り。
積が4の倍数でない組の集合を A、積が3の倍数でない組の集合を B とする。
積が4の倍数でないのは、奇数どうし、または奇数と「4で割った余りが2の数」の組である。奇数は15個、4で割った余りが2の数は8個なので、$n(A)={}_{15}\mathrm{C}_{2}+15\cdot8=105+120=225$。
3の倍数でない数は20個なので、$n(B)={}_{20}\mathrm{C}_{2}=190$。
A と B の両方に属する組のうち、奇数かつ3の倍数でない数は10個、4で割った余りが2かつ3の倍数でない数は5個である。よって $n(A\cap B)={}_{10}\mathrm{C}_{2}+10\cdot5=45+50=95$。
したがって、余事象を用いて、求める個数は $435-(225+190-95)=115$ 通り。