I順天堂大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(1)

$a_{n}=2^{n+3}3^{-n}=8\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$であるから、$a_{n}<1$は
$$\log_{10}a_{n}=3\log_{10}2+n(\log_{10}2-\log_{10}3)=0.9030-0.1761n<0$$
と同値である。したがって$n>\dfrac{0.9030}{0.1761}$、すなわち$n>5.12\cdots$であり、最小の整数は$n=6$である。実際、$a_{5}=\dfrac{256}{243}>1$、$a_{6}=\dfrac{512}{729}<1$である。また、等比級数の和より
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=8\cdot\dfrac{\dfrac{2}{3}}{1-\dfrac{2}{3}}=16.$$
さらに、$b_{n}=a_{1}\times a_{2}\times\cdots\times a_{n}$は
$$b_{n}=8^{n}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1+2+\cdots+n}=8^{n}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\dfrac{n(n+1)}{2}}$$
なので
$$\log_{10}b_{n}=0.9030n-0.08805\,n(n+1)=n\{0.9030-0.08805(n+1)\}.$$
$n\geqq1$より、$b_{n}<1$は$n+1>\dfrac{0.9030}{0.08805}=10.25\cdots$と同値である。よって最小の整数は$n=10$である。境界を確かめると、$\log_{10}b_{9}=0.2025>0$、$\log_{10}b_{10}=-0.6555<0$である。

(2)

$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=2:1$だから、点$\mathrm{R}$の位置ベクトルは
$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac{s}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\dfrac{2}{3}(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac{2t}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
である。また、$\mathrm{OD}:\mathrm{DB}=2:1$より$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である。したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{DR}}=\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}}=s\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right)+t\left(\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right).$$
よって$\vec{k}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{OA}}$、$\vec{l}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$である。各角が$60^{\circ}$であることから
$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\dfrac{27}{2},\qquad\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=27,\qquad\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=9.$$
ゆえに
$$|\vec{k}|^{2}=\dfrac{1}{9}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^{2}=9,$$
$$|\vec{l}|^{2}=\dfrac{4}{9}|\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^{2}=\dfrac{4}{9}(36+9-2\cdot9)=12,$$
$$\vec{k}\cdot\vec{l}=\dfrac{2}{9}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}})=\dfrac{2}{9}\left(27-\dfrac{27}{2}\right)=3.$$
$s,\,t$はそれぞれ独立に$0\leqq s\leqq1$、$0\leqq t\leqq1$の範囲を動くので、$\mathrm{R}$は辺ベクトル$\vec{k}$、$\vec{l}$をもつ平行四辺形を描く。両ベクトルのなす角を$\theta$とすれば、その面積の二乗は
$$\left(|\vec{k}||\vec{l}|\sin\theta\right)^{2}=|\vec{k}|^{2}|\vec{l}|^{2}-(\vec{k}\cdot\vec{l})^{2}=9\cdot12-3^{2}=99.$$
したがって面積は$3\sqrt{11}$である。

(3)

$x=y+b$として展開すると、$y^{3}$の係数は$4b$である。これが$-4$なので$b=-1$となり、実際に
$$P(y-1)=y^{4}-4y^{3}-48y^{2}+64y+256.$$
続いて$y=az$とおくと
$$P(az-1)=a^{4}z^{4}-4a^{3}z^{3}-48a^{2}z^{2}+64az+256.$$
定数項と$z$の係数から$c=256=64a$となるため$a=4$である。このとき最高次項と$z^{3}$の係数もそれぞれ$256$、$-256$となり、$d=-48\cdot4^{2}=-768$である。したがって
$$P(4z-1)=256\left(z^{4}-z^{3}-3z^{2}+z+1\right).$$
この方程式の解では$z\ne0$だから、$z^{2}$で割れる。$t=z-\dfrac{1}{z}$とおき、$z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}=t^{2}+2$を用いると
$$z^{2}+\dfrac{1}{z^{2}}-\left(z-\dfrac{1}{z}\right)-3=0\quad\text{すなわち}\quad t^{2}-t-1=0.$$
よって$t=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$である。

実数$z$は$z^{2}-tz-1=0$より$z=\dfrac{t\pm\sqrt{t^{2}+4}}{2}$となる。正の方の値は$t$が大きいほど大きく、負の方は正の方より小さい。したがって最大の$z$は$t=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$に対する正の根である。$x=4z-1$より
$$x=2t+2\sqrt{t^{2}+4}-1=\sqrt{5}+\sqrt{22+2\sqrt{5}}.$$

(4)

(a) $x<-2$または$x\geqq1$では$|x+2|-|x-1|$は$-3$または$3$であり、不等式を満たさない。$-2\leqq x<1$では差は$2x+1$だから、条件は$-\dfrac{1}{2}<x<1$となる。これは$-1<x<1$の十分条件だが必要条件ではないので、(C)である。

(b) $x$が有理数なら$x=x^{1}$と表せるので、前者は後者の必要条件である。一方、$\sqrt{2}=2^{\dfrac{1}{2}}$は前者を満たすが有理数ではない。実際、$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$を既約分数とすると$p^{2}=2q^{2}$より$p$は偶数となり、さらに$q$も偶数となって矛盾する。したがって前者は後者の十分条件ではなく、(B)である。

(c) 級数が収束し、その和を$S$とすると、部分和$S_{n}$に対して$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\to S-S=0$である。したがって級数の収束は$a_{n}\to0$の十分条件である。しかし逆は成り立たず、$a_{n}=\dfrac{1}{n}$では$a_{n}\to0$だが級数は発散する。実際、各$k\geqq1$について
$$\displaystyle\sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^{k}}\dfrac{1}{n}\geqq2^{k-1}\cdot\dfrac{1}{2^{k}}=\dfrac{1}{2}$$
なので、部分和は限りなく大きくなる。よって(C)である。

(d) 整数$r$について$r^{2}$と$r$の偶奇は一致する。よって$m^{2}+n^{2}+l^{2}$と$m+n+l$の偶奇も一致し、二つの条件は同値である。したがって(A)である。