2群馬大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)

$n^{2}\equiv 0,\,1,\,4\pmod 5$ なので、$a(n)=n^{2}+2\equiv 2,\,3,\,1\pmod 5$。よって $a(n)$ は 5 の倍数でない。

(2)

$b(n)=(n+45)(n^{2}+2)+675=(n+45)\,a(n)+675$ だから、$a(n)$ と $b(n)$ の最大公約数は、$a(n)$ と 675 の最大公約数に等しい。
(1) より $a(n)$ は 5 の倍数でない。$675=27\cdot 25$ なので、$d(n)$ は $a(n)$ と 27 の最大公約数であり、$d(n)\leqq 27$ である。$n=5$ では $a(5)=27$ であり $d(5)=27$ となるので、$d_{0}=27$ である。
また $d(n)=27$ となるには、$a(n)$ が 27 の倍数であることが必要かつ十分である。$n=1,\,2,\,3,\,4$ のとき $a(n)=3,\,6,\,11,\,18$ で、いずれも 27 の倍数ではない。$n=5$ で $a(5)=27$ となるので、最小の $n$ は 5 である。

(3)

対数の底の変換により、与式を $E$ とおくと
$$\begin{aligned} E&=\dfrac{1}{2}\log_{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}a(n)+2\log_{9}b(n)+(m-1)\log_{\dfrac{1}{3}}5\\ &=-\log_{3}a(n)+\log_{3}b(n)-(m-1)\log_{3}5\\ &=\log_{3}\dfrac{b(n)}{a(n)\cdot 5^{m-1}}. \end{aligned}$$$$E=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}a(n)+2{\log }_{9}b(n)+(m-1){\log }_{\frac{1}{3}}5$$$$=-{\log }_{3}a(n)+{\log }_{3}b(n)-(m-1){\log }_{3}5$$$$={\log }_3\frac{b(n)}{a(n)\cdot 5^{m-1}}.$$
これが自然数 $k$ に等しいとする。$m\geqq 1$ のとき、$\dfrac{b(n)}{a(n)}=3^{k}\cdot 5^{m-1}$ より、$a(n)$ は $b(n)$ の約数である。$m=0$ のときは $\dfrac{5\,b(n)}{a(n)}=3^{k}$ より、$a(n)$ は $5\,b(n)$ の約数である。$a(n)$ は 5 の倍数ではないので、$a(n)$ と 5 は互いに素であり、やはり $a(n)$ は $b(n)$ の約数である。
したがって $d(n)=a(n)$ であり、(2) より $a(n)=d(n)$ は 27 の約数である。$a(n)=n^{2}+2\geqq 3$ なので、$a(n)$ は $3,\,9,\,27$ のいずれかである。それぞれ $n^{2}=1,\,7,\,25$ となるため、自然数 $n$ の候補は $n=1,\,5$ である（$n^{2}=7$ は自然数の解をもたない）。
$n=1$ では $a(1)=3$、$b(1)=813$ で、$\dfrac{b(1)}{a(1)}=271$ である。$m\geqq 1$ なら $271=3^{k}\cdot 5^{m-1}$ となるが、271 は 3 でも 5 でも割り切れず、1 でもないので不可能である。$m=0$ なら $5\cdot 271=1355=3^{k}$ が必要だが、1355 は 5 の倍数なので不可能である。
$n=5$ では $a(5)=27$、$b(5)=2025$ で、$\dfrac{b(5)}{a(5)}=75$ である。$m\geqq 1$ なら $75=3^{k}\cdot 5^{m-1}$ より $k=1$、$m-1=2$ すなわち $m=3$ である。$m=0$ なら $5\cdot 75=375=3^{k}$ となるが、375 は 5 の倍数なので不可能である。実際 $m=3$ のとき、$E=\log_{3}\dfrac{2025}{27\cdot 25}=\log_{3}3=1$ である。
以上から、条件を満たす組は $(m,n)=(3,5)$ だけである。