1千葉大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 素因数分解すると
$$15120=2^4\cdot3^3\cdot5\cdot7$$
である。正の約数では各素因数の指数を独立に選べるから、その個数は
$$(4+1)(3+1)(1+1)(1+1)=80.$$
また正の約数の総和は
$$(1+2+2^2+2^3+2^4)(1+3+3^2+3^3)(1+5)(1+7) =31\cdot40\cdot6\cdot8=59520.$$

(2) 全事象は順序を区別して $6^3=216$ 通り。固定した $n$ に対し、条件を満たす $(k,m)$ の個数を数える。$k+m$ の和 $s$ の個数は、$s=2,3,\ldots,12$ に対して順に $1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$ だから、
$$\begin{aligned} N_1&=36,\\ N_2&=1+3+5+5+3+1=18,\\ N_3&=2+5+4+1=12,\\ N_4&=3+5+1=9,\\ N_5&=4+3=7,\\ N_6&=5+1=6. \end{aligned}$$$$N_1=36,$$$$N_2=1+3+5+5+3+1=18,$$$$N_3=2+5+4+1=12,$$$$N_4=3+5+1=9,$$$$N_5=4+3=7,$$$$N_6=5+1=6.$$
よって条件を満たす順序付き三つ組は $36+18+12+9+7+6=88$ 通りであり、求める確率は
$$\frac{88}{216}=\frac{11}{27}.$$

(3) $3^6=729>720=6!$ より $\sqrt[6]{6!}<3$。また $6^3=216<720=6!$ であり、底 $6>1$ の対数関数は増加するから
$$3=\log_6(6^3)<\log_6(6!).$$
したがって $\sqrt[6]{6!}<3<\log_6(6!)$ で、前者より大きく後者より小さい整数は $3$ である。