5東北大学 2024年 数学 第5問解答・解説

$x \geqq 2$ を満たす実数 x に対し、$$f (x) = \frac {\log (2 x - 3)}{x}$$

とおく。必要ならば、$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{\log t}{t}=0$ であること、および、自然対数の底 e が 2 < e < 3 を満たすことを証明なしで用いてもよい。

(1) $f'(x) = \frac{g(x)}{x^{2}(2x - 3)}$ とおくとき、関数 $g(x) (x \geqq 2)$ を求めよ。

(2) (1) で求めた関数 $g(x)$ に対し、$g(\alpha)=0$ を満たす 2 以上の実数 $\alpha$ がただ 1 つ存在することを示せ。

(3) 関数 $f(x)$ ($x \geqq 2$) の増減と極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$ を調べ、$y = f(x)$ ($x \geqq 2$) のグラフの概形を $xy$ 平面上に描け。ただし、(2) の $\alpha$ を用いてよい。グラフの凹凸は調べなくてよい。

(4) $2 \leqq m < n$ を満たす整数 m, n の組 $(m, n)$ に対して、等式

$$(*) \quad (2 m - 3) ^ {n} = (2 n - 3) ^ {m}$$

が成り立つとする。このような組 $(m,n)$ をすべて求めよ。