1東海大学 2024年 数学 第1問解答・解説

各小問を独立に計算し、整数因数の全列挙、二項定理の該当項、定積分による係数決定、指数法則、座標・角の二等分線、三角関数の和積公式、項を組にする数列和で解いた。

(1)

$m^2-n^2=(m-n)(m+n)=35$。$m>n$ だから両因数は正の奇数であり、因数の組は $(1,35),(5,7)$ である。前者から $(m,n)=(18,17)$、後者から $(m,n)=(6,1)$ を得る。したがって $mn=306,6$ であり、小さい順に $6,306$。

(2)

二項定理の一般項は
$${}_{9}\mathrm{C}_{k}x^{9-k}\left(\dfrac1{x^2}\right)^k ={}_{9}\mathrm{C}_{k}x^{9-3k}.$$
定数項は $9-3k=0$、すなわち $k=3$ の項であるから、係数は ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$。

(3)

二つの積分を計算すると
$$\int_0^1g(t)\,dt=8+\dfrac B2,\qquad \int_0^1f(t)\,dt=\dfrac A3+12.$$
与式で $x^2$、$x$ の係数をそれぞれ比較して
$$A=8+\dfrac B2,\qquad B=\dfrac A3+12.$$
これを代入すると $A=14+\dfrac A6$、よって $A=\dfrac{84}{5}$、さらに $B=\dfrac{88}{5}$。

(4)

$1.5=\dfrac32$ より
$$2^{1/3}3^{1/2}6^{-1/6}(1.5)^{-1/3} =2^{1/3}3^{1/2}2^{-1/6}3^{-1/6}3^{-1/3}2^{1/3} =2^{1/2}=\sqrt{2}.$$

(5)

連立して $P=\left(-\dfrac{12}{7},\,\dfrac{23}{7}\right)$、また $Q=(0,1), R=(0,2)$。したがって
$$PQ=\dfrac{\sqrt{12^2+16^2}}7=\dfrac{20}{7},\qquad PR=\dfrac{\sqrt{12^2+9^2}}7=\dfrac{15}{7}.$$
$\angle QPR$ の内角の二等分線が $QR$ と交わる点を $T$ とすると、角の二等分線の定理から $QT:TR=PQ:PR=4:3$。$QR=1$ なので $T=(0,11/7)$。$P,T$ を通る直線の傾きは $-1$ だから
$$y=-x+\dfrac{11}{7},\qquad 7x+7y-11=0.$$
よって $\text{キ}=7,\text{ク}=11$。

(6)

$U=(\alpha+\beta)/2,\ V=(\alpha-\beta)/2$ とおくと、和積公式から
$$2\cos U\sin V=\dfrac13,\qquad 2\cos U\cos V=\dfrac15.$$
両式を平方して加えると $4\cos^2U=\dfrac19+\dfrac1{25}=\dfrac{34}{225}$。したがって
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos 2U=2\cos^2U-1 =\dfrac{17}{225}-1=-\dfrac{208}{225}.$$

(7)

偶数項までを一組ずつまとめると
$$S_{2n}=\sum_{j=1}^{n}\bigl((2j-1)^2-(2j)^2\bigr) =\sum_{j=1}^{n}(-4j+1) =-2n^2-n.$$
また $a_{2n}=-4n^2$ なので
$$S_{2n-1}=S_{2n}-a_{2n}=(-2n^2-n)+4n^2=2n^2-n.$$