3徳島大学 2024年 数学 第3問解答・解説

関数 $f(x)$ は $x\geqq 0$ のとき $f(x)\geqq 0$ を満たす。自然数 $n$ に対して、連立不等式 $0\leqq x\leqq n,\ 0\leqq y\leqq f(x)$ の表す $xy$ 平面上の領域の面積を $S_{n}$、その領域に含まれる $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点の個数を $L_{n}$ とおく。
(1) $f(x)=x^{3}$ のとき、$L_{n}$ を $n$ を用いて表せ。
(2) $f(x)=x^{3}$ のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{L_{n}}{S_{n}}$ を求めよ。
(3) $f(x)=xe^{x}$ のとき、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{S_{n}}\sum_{k=0}^{n}ke^{k}$ および $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{L_{n}}{S_{n}}$ を求めよ。