3香川大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $n=1$ のとき $a_1+b_1\sqrt{5}=2+\sqrt{5}$ である。$\sqrt{5}$ は無理数なので係数を比較して $a_1=2,\ b_1=1$ となり、$a_1-b_1\sqrt{5}=2-\sqrt{5}$ を得る。

また、定義式から、すべての $n\geqq 1$ について
$$\begin{aligned} a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{5} &=(2+\sqrt{5})(a_n+b_n\sqrt{5})\\ &=(2a_n+5b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{5}. \end{aligned}$$$$a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})(a_n+b_n\sqrt{5})$$$$=(2a_n+5b_n)+(a_n+2b_n)\sqrt{5}.$$
係数を比較すると
$$a_{n+1}=2a_n+5b_n,\quad b_{n+1}=a_n+2b_n.$$
ここで $a_n-b_n\sqrt{5}=(2-\sqrt{5})^{n}$ と仮定すれば、
$$\begin{aligned} a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{5} &=(2a_n+5b_n)-(a_n+2b_n)\sqrt{5}\\ &=(2-\sqrt{5})(a_n-b_n\sqrt{5})\\ &=(2-\sqrt{5})^{n+1}. \end{aligned}$$$$a_{n+1}-b_{n+1}\sqrt{5}=(2a_n+5b_n)-(a_n+2b_n)\sqrt{5}$$$$=(2-\sqrt{5})(a_n-b_n\sqrt{5})$$$$=(2-\sqrt{5}{)}^{n+1}.$$
以上より数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について成り立つ。

(2) 定義式と (1) の等式を加え、また引くと
$$2a_n=(2+\sqrt{5})^{n}+(2-\sqrt{5})^{n},\quad 2b_n\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^{n}-(2-\sqrt{5})^{n}.$$
したがって、$r=\dfrac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$ とおけば
$$\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{5}\,\frac{1+r^{n}}{1-r^{n}}.$$
$2<\sqrt{5}<3$ より $|2-\sqrt{5}|<1$ かつ $2+\sqrt{5}>1$ なので $|r|<1$ である。よって $r^{n}\to 0$ となり、
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{5}\,\frac{1+0}{1-0}=\sqrt{5}.$$