I慶應義塾大学 2025年 数学 第I問解答・解説

正規分布を標準化し、密度の規格化、リーマン和から定積分への移行、複素数の極形式、$\sqrt{2}$の無理性による係数比較を順に用いる。

(1)　 身長を$H$とし，標準化した確率変数を$Z=(H-158)/5$とする。すると，$153\leqq H\leqq170.5$は$-1\leqq Z\leqq2.5$に対応する。標準正規分布の対称性から，この確率は
$$p(1)+p(2.5)=0.3413+0.4938=0.8351$$
であり，百分率では約$83.51\%$である。小数第1位を四捨五入すると，空欄（あ）は$84$となる。　
低い方から$2.5\%$の境界を$h$とすると，$P(Z\leqq(h-158)/5)=0.025$である。表より
$$p(1.8)=0.4641<0.475<0.4772=p(2)$$
なので，$-2<(h-158)/5<-1.8$，すなわち$148<h<149$である。したがって，境界以下に入る最大の整数身長は空欄（い）の$148$である。　
(2)　 確率密度関数の全区間での積分は$1$である。部分積分により
$$\int x\log x\,dx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}$$
だから，
$$1=\int_1^e r x\log x\,dx=r\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_1^e=r\frac{e^2+1}{4}.$$
よって，空欄（う）は$r=\frac{4}{e^2+1}$である。　
(3)　 $f(x)=\sin^3(\pi x/2)$は$0\leqq x\leqq1$で連続なので，右端を用いたリーマン和の極限は定積分に等しい。置換$t=\pi x/2$を用いると
$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin^3\left(\frac{k\pi}{2n}\right) &=\int_0^1\sin^3\left(\frac{\pi x}{2}\right)\,dx\\ &=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\sin^3t\,dt\\ &=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\sin t(1-\cos^2t)\,dt =\frac2\pi\left(1-\frac13\right)=\frac4{3\pi}. \end{aligned}$$$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\sin }^3\left(\frac{k\pi }{2n}\right)={\int }_0^1{\sin }^3\left(\frac{\pi x}{2}\right)dx$$$$=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}tdt$$$$=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi /2}\sin t(1-{\cos }^{2}t)dt=\frac{2}{\pi }\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3\pi }.$$
したがって，空欄（え）は$\frac4{3\pi}$である。　
(4)　 $12(1+\sqrt3i)=24(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))$と表せるので，三乗根は
$$24^{1/3}\left(\cos\left(\frac\pi9+\frac{2k\pi}3\right)+i\sin\left(\frac\pi9+\frac{2k\pi}3\right)\right)\quad(k=0,1,2)$$
である。複素数平面でこれらは原点からの距離が$R=24^{1/3}$で，偏角の差が$2\pi/3$の3点である。余弦定理により各辺の長さ$\ell$は
$$\ell^2=R^2+R^2-2R^2\cos(2\pi/3)=3R^2$$
となるので，三角形は正三角形である。その面積は
$$\frac{\sqrt3}{4}\ell^2=\frac{3\sqrt3}{4}R^2=\frac{3\sqrt3}{4}\,24^{2/3} =\frac{3\sqrt3}{4}\,4\cdot3^{2/3}=3^{13/6}.$$
よって，空欄（お）は$\frac{13}{6}$である。　
(5)　 分母が0でないので両辺に$c\sqrt2+d$を掛けると
$$a\sqrt2+b=4c+2d\sqrt2,\qquad (a-2d)\sqrt2=4c-b$$
を得る。右辺は有理数であり，$\sqrt2$は無理数なので，$a-2d=0$かつ$4c-b=0$である。したがって$a=2d,\ b=4c$。これを$ad+bc=18$に代入すると
$$2d^2+4c^2=18,\qquad d^2+2c^2=9.$$
また$a,b\geqq0$から$d,c\geqq0$であり，$2c^2\leqq9$より$c=0,1,2$だけを調べればよい。$c=0$なら$d=3$，$c=1$なら$d^2=7$となり整数解はなく，$c=2$なら$d=1$である。よって候補は
$$(a,b,c,d)=(6,0,0,3),\ (2,8,2,1).$$
前者の分母は$3$，後者の分母は$2\sqrt2+1$でいずれも0でない。また各組は元の比と$ad+bc=18$を満たす。したがってこの2組がすべてである。