1筑波大学 2025年 数学 第1問解答・解説

正接の周期性で条件を整数条件に置き換え、無理数性・既約分数の分母を用いてrを絞り、最後に正接の未定義点も含め候補を確認する。

条件 (A) では各項とその 3 倍で正接が定義されている。実数 $x$、$y$ について（正接が定義されているとき）$\tan x=\tan y$ ならば $x-y$ は $\pi$ の整数倍である。したがって、$a_{n}=ar^{n-1}$ とおくと、条件 (A) は
$$a_{n+1}-3a_{n}=a(r-3)r^{n-1}\ \text{は}\ \pi\ \text{の整数倍}\qquad(n\geqq1)$$
を含意する（以下 ($*$) と書く）。

(1) 条件 (A) の $n=1,\,2$ における正接の等式をそのまま用いれば
$$\tan(ar)=\tan(3a),\qquad\tan(ar^{2})=\tan(3ar)$$
を得る。

(2) $q=\dfrac{a}{\pi}$ とおく。仮定より $q$ は無理数であり、特に $q\neq0$ である。($*$) の $n=1,\,2$ から
$$m=q(r-3)\ \text{は整数},\qquad\ell=q(r-3)r\ \text{は整数}$$
となる。$m=0$ ならば $q\neq0$ より $r=3$。$m\neq0$ と仮定すると $r=\dfrac{\ell}{m}$ は有理数であり、しかも $r\neq3$。よって $q=\dfrac{m}{r-3}$ は有理数となって仮定に反する。したがって $r=3$ である。

(3) ここでは $a=\dfrac{2\pi}{5}$ なので、($*$) は
$$mr^{n-1}\ \text{は整数}\quad(n\geqq1),\qquad m=\dfrac{2(r-3)}{5}\ \text{は整数}$$
を与える。$m=0$ ならば $r=3$ である。$m\neq0$ ならば $n=2$ により $mr$ は整数だから、$r$ は有理数である。既約分数 $r=\dfrac{p}{q}$（$p$ は整数、$q$ は正の整数、$|p|$ と $q$ は互いに素）をとると、すべての $k\geqq0$ について $\dfrac{mp^{k}}{q^{k}}$ は整数である。従って $m$ は $q^{k}$ で割り切れるが、これがすべての $k$ で成り立つ。$m\neq0$ なので $q>1$ は不可能であり、$q=1$、すなわち $r$ は整数である。

(4) (3) より $r$ は整数であり、($*$) の $n=1$ より $\dfrac{2(r-3)}{5}$ は整数である。従って $r\equiv3\pmod5$ で、範囲 $1\leqq r\leqq10$ の候補は $3,\,8$ だけである。これらについて
$$a_{n+1}-3a_{n}=\dfrac{2\pi}{5}(r-3)r^{n-1}$$
はそれぞれ $0$ または $2\pi\cdot8^{n-1}$ となり、常に $\pi$ の整数倍である。また $k=n-1$ とすると $\dfrac{a_{n}}{\pi}=\dfrac{2r^{k}}{5}$、$\dfrac{3a_{n}}{\pi}=\dfrac{6r^{k}}{5}$ である。前者が $\dfrac{1}{2}+j$（$j$ は整数）なら $4r^{k}=5(2j+1)$、後者がそうなら $12r^{k}=5(2j+1)$ となるが、いずれも左辺は偶数、右辺は奇数であり不可能。よって正接はすべて定義され、候補 $r=3,\,8$ はともに条件 (A) を満たす。