千葉大学 2026年数学第3問（文系の学部・教育など）解答・解説

1問題

千葉大学2026年度第3問

a

は

0\leqq a<1

を満たす実数とする。点

(a,\,0)

を頂点とし、

y

軸と平行な軸をもち、点

(1,\,1)

を通る放物線を

C

とする。以下の問いに答えよ。

(1) 放物線

C

の方程式を求めよ。

(2) 放物線

C

と直線

y=x

の交点をすべて求めよ。

(3) 放物線

C

と直線

y=x

で囲まれた図形の面積

S

を求めよ。

(4) (3) で求めた面積

S

が最大となるような

a

の値を求めよ。

出典：千葉大学 2026年度数学第3問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$y=\dfrac{(x-a)^{2}}{(1-a)^{2}}$
(2)
$(a^{2},\,a^{2}),\ (1,\,1)$
(3)
$S=\dfrac{(1+a)^{3}(1-a)}{6}$
(4)
$a=\dfrac{1}{2}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

C:y=k(x-a)^{2}

とおき、

(1,\,1)

を通る条件で

k

を決める。交点の

x

座標の方程式は

x=1

を解にもつので因数分解できる。面積は「

x^{2}

の係数

\times\dfrac{(\text{交点の差})^{3}}{6}

」で求める。

解答

(1)

C:y=k(x-a)^{2}

とおくと、

(1,\,1)

を通るから

k=\dfrac{1}{(1-a)^{2}}

。よって

y=\dfrac{(x-a)^{2}}{(1-a)^{2}}

。

(2)

(x-a)^{2}=(1-a)^{2}x

より

x^{2}-(1+a^{2})x+a^{2}=0

、

(x-1)(x-a^{2})=0

。交点は

(a^{2},\,a^{2}),\ (1,\,1)

（

a=0

のときは

(0,\,0),\ (1,\,1)

）。

(3)

a^{2}<1

で、

a^{2}\leqq x\leqq1

では直線が上にあるから

S=\int_{a^{2}}^{1}\left\{x-\dfrac{(x-a)^{2}}{(1-a)^{2}}\right\}dx=\dfrac{1}{(1-a)^{2}}\cdot\dfrac{(1-a^{2})^{3}}{6}=\dfrac{(1+a)^{3}(1-a)}{6}.

(4)

g(a)=(1+a)^{3}(1-a)

とおくと

g'(a)=3(1+a)^{2}(1-a)-(1+a)^{3}=2(1+a)^{2}(1-2a).

0\leqq a<1

で、

g(a)

は

a=\dfrac{1}{2}

まで増加し、その後減少する。よって

S

が最大となるのは

a=\dfrac{1}{2}

のとき（最大値

\dfrac{9}{32}

）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

放物線の方程式
放物線と直線で囲まれた面積
増減表

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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