6千葉大学 2026年 数学 第6問解答・解説

格子点集合 $A$ は $n^2$ 点である。$P,Q$ を交換しても各事象は変わらないので、(1),(3)は無順序対で数えてよい。全組数は
$${}_{n^2}\mathrm{C}_{2}=\frac{n^2(n^2-1)}2.$$
距離1の格子点間では、座標差は $(\pm1,0)$ または $(0,\pm1)$ である。

(1) 横に隣り合う組は各行に $n-1$ 組あり $n(n-1)$ 組、縦も同数なので、距離1の組は $2n(n-1)$。よって
$$P(PQ=1)=\frac{2n(n-1)}{{}_{n^2}\mathrm{C}_{2}} =\frac{4}{n(n+1)}.$$

(2) $P=(3,3)$ と固定する。条件を満たす点 $R$ があれば、$P-R$ と $Q-R$ は異なる上下左右の単位ベクトルである。二つの方向が反対向きなら $P,Q$ は同じ点になるため除かれ、残る場合の $Q-P$ は
$$(\pm2,0),\quad(0,\pm2),\quad(\pm1,\pm1)$$
のいずれかである。逆に、軸方向に2離れた点対は中点を $R$ にでき、対角方向に1ずつ離れた点対は間の格子点を $R$ にできる。従って該当する $Q$ は
$$(1,3),(5,3),(3,1),(3,5),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)$$
の8点である。$n\geqq5$ なら全て $A$ 内にあり、$Q$ の候補は $n^2-1$ 点だから
$$P_{P=(3,3)}(\text{PR=QR=1 を満たす点 R が A 内に存在する}) =\frac8{n^2-1}.$$

(3) 同じ方向ベクトルの分類より、条件を満たす無順序対は、(i) 横または縦に2離れた対、(ii) 単位正方形の対角の対に限られ、どちらの対にも共通隣点が存在する。(i)は横 $n(n-2)$ 組、縦 $n(n-2)$ 組、合計 $2n(n-2)$ 組。(ii)は単位正方形が $(n-1)^2$ 個あり、各正方形の2本の対角線から $2(n-1)^2$ 組。対角線の両端は属する正方形を一意に決めるので重複はない。また(i),(ii)も重ならない。従って有利な組は
$$2n(n-2)+2(n-1)^2=4n^2-8n+2.$$
全組数で割ると
$$P(\text{PR=QR=1 を満たす点 R が A 内に存在する}) =\frac{4n^2-8n+2}{{}_{n^2}\mathrm{C}_{2}} =\frac{4(2n^2-4n+1)}{n^2(n^2-1)}.$$