5千葉大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)

まず、$f_{n}'(x)=e^{-x}x^{n-1}(n-x)$ である。$x>0$ では $e^{-x}x^{n-1}>0$ なので、$f_{n}$ は $0<x<n$ で増加し、$x>n$ で減少する。よって最大値は $f_{n}(n)=n^{n}e^{-n}$ である。また、
$$f_{n}''(x)=e^{-x}x^{n-2}\{x^{2}-2nx+n(n-1)\}=e^{-x}x^{n-2}\{(x-n)^{2}-n\}.$$
前の因子は $x>0$ で正であり、二次の因子の符号は $x=n-\sqrt{n}$、$x=n+\sqrt{n}$ で変わる。$n\geqq2$ では両者とも正なので、変曲点の $x$ 座標は $n-\sqrt{n}$、$n+\sqrt{n}$ である。

(2)

$n\geqq2$ について部分積分すると、
$$a_{n}(r)=\left[-x^{n}e^{-x}\right]_{0}^{r}+n\int_{0}^{r}x^{n-1}e^{-x}\,dx=na_{n-1}(r)-r^{n}e^{-r}.$$
初期値は $a_{1}(r)=\displaystyle\int_{0}^{r}xe^{-x}\,dx=\left[-(x+1)e^{-x}\right]_{0}^{r}=1-(r+1)e^{-r}$ である。

(3)

$a_{1}(r)=1-e^{-r}-f_{1}(r)$ だから、与えられた $\lim_{r\to\infty}f_{1}(r)=0$ と $e^{-r}\to0$ より $\lim_{r\to\infty}a_{1}(r)=1$ である。また $n\geqq2$ では $a_{n}(r)=na_{n-1}(r)-f_{n}(r)$ であり、$\lim_{r\to\infty}f_{n}(r)=0$ が与えられている。したがって帰納的に
$$\lim_{r\to\infty}a_{n}(r)=n\lim_{r\to\infty}a_{n-1}(r)=n!$$
を得る。