2千葉大学 2026年 数学 第2問解答・解説

円が通過する図形は「図形からの距離が $r$ 以下の点全体」である。線分の両側の長方形、端点のまわりの円の一部に分けて面積を足す。(3) は角の内側で 2 本の線分の帯が重なるので、内側は台形 2 つ、外側は長方形 2 つと $\mathrm{B}$ を中心とする扇形に分ける。

円が通過してできる図形 $D$ は、動く図形からの距離が $r$ 以下である点全体である。

(1)

線分の両側の、2 辺が 1 と $r$ の長方形 2 つと、両端の半径 $r$ の半円 2 つを合わせた図形だから
$$S=2\cdot1\cdot r+\pi r^{2}=\pi r^{2}+2r.$$

(2)

外側は、各辺の外側の長方形 4 つ（2 辺が 1 と $r$）と、頂点のまわりの四分円 4 つ。内側は、1 辺 1 の正方形から 1 辺 $1-2r$ の正方形を除いた部分である（$r<\dfrac{1}{2}$）。よって
$$S=4r+\pi r^{2}+\{1-(1-2r)^{2}\}=(\pi-4)r^{2}+8r.$$

(3)

角の外側には、各線分の外側の長方形 2 つ（面積 $r$ ずつ）と、$\mathrm{B}$ を中心とする中心角 $2\pi-\pi-2\theta=\pi-2\theta$ の扇形があり、端の $\mathrm{A},\,\mathrm{C}$ のまわりには半円が 2 つある。

角の内側では、$\mathrm{AB}$ から距離 $r$ の直線と $\mathrm{BC}$ から距離 $r$ の直線が、$\angle\mathrm{ABC}$ の二等分線上の点 $\mathrm{Q}$（$\mathrm{BQ}=\dfrac{r}{\sin\theta}$）で交わる。$\mathrm{Q}$ から $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足と $\mathrm{B}$ の距離は $\dfrac{r\cos\theta}{\sin\theta}=\dfrac{r}{\tan\theta}$（$\tan\theta>1>2r$ より 1 より小さい）だから、内側の部分は、上底 $1-\dfrac{r}{\tan\theta}$、下底 1、高さ $r$ の台形 2 つになる。よって
$$S=\pi r^{2}+\dfrac{1}{2}r^{2}(\pi-2\theta)+2r+2\cdot\dfrac{1}{2}\left(2-\dfrac{r}{\tan\theta}\right)r=\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta-\dfrac{1}{\tan\theta}\right)r^{2}+4r.$$
（$\theta\to\dfrac{\pi}{2}$ で長さ 2 の線分の場合 $\pi r^{2}+4r$ に一致する。）