8千葉大学 2026年 数学 第8問解答・解説

(1) 体積 $V$

$D$ は $0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ で $\sin x\leqq y\leqq 1$ を満たす。高さ $y$ を固定し、$\sin u=y$（$0\leqq u\leqq\dfrac{\pi}{2}$）を満たす角を $u$ とすると、水平断面は $0\leqq x\leqq u$ であり、$dy=\cos u\,du$ である。

この線分を $x=t$ のまわりに回す。$u<t$ では線分全体が回転軸の左にあり、外半径 $t$、内半径 $t-u$ の円環になる。$u\geqq t$ では回転軸が線分上にあるため円盤であり、半径は $\max(t,\,u-t)$ である。よって $t\leqq u\leqq 2t$ では半径 $t$、$u\geqq 2t$ では半径 $u-t$ となる。

まず $0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}$ の場合は $2t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ なので、
$$\begin{aligned} \dfrac{V}{\pi} &=\int_{0}^{t}(2tu-u^{2})\cos u\,du +t^{2}\int_{t}^{2t}\cos u\,du +\int_{2t}^{\dfrac{\pi}{2}}(u-t)^{2}\cos u\,du. \end{aligned}$$
ここで
$$\int u\cos u\,du=u\sin u+\cos u,\qquad \int u^{2}\cos u\,du=u^{2}\sin u+2u\cos u-2\sin u$$
を用いて各項を計算すると、
$$V=\pi\left[\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)^{2}-2-2t-2t\cos 2t+2\sin t+2\sin 2t\right]\qquad\left(0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}\right).$$

次に $\dfrac{\pi}{4}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では $2t\geqq\dfrac{\pi}{2}$ だから、$u\geqq t$ の範囲で半径 $t$ の円盤となる。したがって
$$\begin{aligned} \dfrac{V}{\pi} &=\int_{0}^{t}(2tu-u^{2})\cos u\,du+t^{2}\int_{t}^{\dfrac{\pi}{2}}\cos u\,du\\ &=t^{2}-2t+2\sin t, \end{aligned}$$$$\frac{V}{\pi }={\int }_0^t(2tu-u^2)\cos udu+t^2{\int }_t^{\frac{\pi }{2}}\cos udu$$$$=t^2-2t+2\sin t,$$
すなわち
$$V=\pi(t^{2}-2t+2\sin t)\qquad\left(\dfrac{\pi}{4}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}\right).$$
2 式は $t=\dfrac{\pi}{4}$ で一致する。

(2) 最小位置の一意性

$F(t)=V(t)/\pi$ とおく。$0\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{4}$ では
$$F'(t)=-\pi+2t-2+2\cos 2t+4t\sin 2t+2\cos t,$$
$$F''(t)=2(1-\sin t)+8t\cos 2t>0.$$
最後の不等式は $\sin t\leqq\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1$ および $\cos 2t\geqq 0$ から従う。したがって $0\leqq t_{1}<t_{2}\leqq\dfrac{\pi}{4}$ ならば $F'(t_{1})<F'(t_{2})$ が成り立つ。さらに
$$F'(0)=2-\pi<0,\qquad F'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{2}-2+\sqrt{2}>0.$$
よって中間値の定理とこの増加の性質により、$F'(t)=0$ は $0<t<\dfrac{\pi}{4}$ にただ 1 つの解をもつ。この点まで $F$ は減少し、その後は増加する。

$\dfrac{\pi}{4}\leqq t\leqq\dfrac{\pi}{2}$ では
$$F'(t)=2(t-1+\cos t).$$
$t-1+\cos t$ の導関数は $1-\sin t\geqq 0$ で、$t=\dfrac{\pi}{4}$ において正である（例えば $\pi>3$ および $\sqrt{2}>1$ より $\dfrac{\pi}{4}-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}>\dfrac{1}{4}$）。したがって後半区間では $F'(t)>0$ である。前半区間の唯一の臨界点から先は全区間で増加するので、$V$ の最小値を与える $t$ はただ 1 つである。

この値は
$$-\pi+2t-2+2\cos 2t+4t\sin 2t+2\cos t=0$$
の $0<t<\dfrac{\pi}{4}$ における唯一の解であり、数値では $t\fallingdotseq 0.387927$ である。