3千葉大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1) は $|x^{2}+x-2|-x=p$ と変形し、左辺のグラフと直線 $y=p$ の共有点を数える（定数を分離する）。(2) は定積分 $\displaystyle\int_{-1}^{2}f(t)\,dt$ が定数なので、それを文字でおいて $f(x)$ を表し、もとの式に戻して定数を決める。

(1)

$|x^{2}+x-2|=x+p$ を $h(x)=|x^{2}+x-2|-x=p$ と変形する。$x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$ だから
$$h(x)=\begin{cases}x^{2}-2 & (x\leqq-2,\ 1\leqq x)\\ -(x+1)^{2}+3 & (-2<x<1)\end{cases}$$
$h(x)$ は $x\leqq-2$ で減少して $h(-2)=2$、$-2\leqq x\leqq-1$ で $2$ から $3$ まで増加、$-1\leqq x\leqq1$ で $3$ から $-1$ まで減少、$x\geqq1$ で $-1$ から増加する。

$y=h(x)$ のグラフと直線 $y=p$ の共有点の個数を数えて
$$\begin{array}{c|ccccccc} p & p<-1 & -1 & -1<p<2 & 2 & 2<p<3 & 3 & 3<p\\ \hline \text{個数} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 3 & 2 \end{array}$$
（$p=2$ のときは $x=-2,\,0,\,2$、$p=3$ のときは $x=-\sqrt{5},\,-1,\,\sqrt{5}$。）

(2)

$a=\displaystyle\int_{-1}^{2}f(t)\,dt$ とおく（定数）。$\displaystyle\int_{-1}^{2}t\,dt=\dfrac{4-1}{2}=\dfrac{3}{2}$ だから
$$f(x)=x^{2}+ax-\dfrac{3}{2}.$$
これを $a$ の定義に代入して
$$a=\int_{-1}^{2}\left(t^{2}+at-\dfrac{3}{2}\right)dt=3+\dfrac{3}{2}a-\dfrac{9}{2}.$$
よって $a=3$ で、$f(x)=x^{2}+3x-\dfrac{3}{2}$。