7千葉大学 2023年 数学 第7問解答・解説

$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$ とおく。加法定理より $\cos x-\sqrt{5}\sin x=\sqrt{6}\cos(x+\phi)$ となる角 $\phi$ を取れる。$y=x+\phi$ とすれば $f(x)=\sqrt{6}|\cos y-c|$。

(1) $-1\leqq \cos y\leqq1$ で $c>0$ だから $|\cos y-c|\leqq1+c$。$\cos y=-1$ のとき等号となる。最大値は $\sqrt{6}(1+c)=\sqrt{6}+3\sqrt{2}/2$。

(2) $\alpha=\frac{\pi}{6}$ とすれば $c=\cos\alpha$。関数は $2\pi$ 周期で、$\cos y\geqq c$ となるのは $-\alpha\leqq y\leqq\alpha$（mod $2\pi$）である。積分区間を一周期 $-\pi\leqq y\leqq\pi$ に移すと、絶対値の反転分を加えて
$\int_0^{2\pi}f(x)\,dx=\sqrt{6}\left(2\pi c+2\int_{-\alpha}^{\alpha}(\cos y-c)\,dy\right)=\sqrt{6}\left(2\pi c+4(\sin\alpha-c\alpha)\right)=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\pi$。

(3) $q(y)=|\cos y-c|$、$v=t+\phi+\alpha$ とおき $T(v)=\int_{v-\alpha}^{v+\alpha}q(y)\,dy$ とする。すると $S(t)=\sqrt{6}T(v)$。$q$ が偶関数かつ $2\pi$ 周期なので $T$ も偶関数かつ $2\pi$ 周期であり、$0\leqq v\leqq\pi$ だけ調べればよい。微積分の基本定理から $T'(v)=q(v+\alpha)-q(v-\alpha)$。

$0\leqq v\leqq2\alpha$ では、$\cos(v+\alpha)\leqq c$、$\cos(v-\alpha)\geqq c$ なので
$T'(v)=2c-\cos(v+\alpha)-\cos(v-\alpha)=2c(1-\cos v)\geqq0$。

$2\alpha\leqq v\leqq\pi$ では両方の余弦が $c$ 以下なので $T'(v)=\cos(v-\alpha)-\cos(v+\alpha)=2\sin v\sin\alpha\geqq0$。したがって $T$ は $0\leqq v\leqq\pi$ で増加し、最大は $v=\pi$ で取る。このとき $T(\pi)=\int_{\pi-\alpha}^{\pi+\alpha}(c-\cos y)\,dy=2\alpha c+2\sin\alpha=1+\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$。ゆえに $S(t)$ の最大値は $\sqrt{6}(1+\frac{\sqrt{3}\pi}{6})=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$。