6千葉大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1)
1回目に動いた先は、目 m が 1 のとき 1、2 のとき 0+2=2 で 1、3,4,5,6 のとき 3,4,5,6 である。よって $a_{1}=1$ となる確率は $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$、$a_{1}=6$ となる確率は $\dfrac{1}{6}$ である。
$a_{2}=1$ になるのは、$a_{1}=1$ から目 1 が出る場合（$1+1=2$ で 1 になる）と、$a_{1}=6$ から目 6 が出る場合（$6+6=12$ で 1 になる）の 2 通りだけである。
$$\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$$
よって $a_{2}=1$ となる確率は $\dfrac{1}{12}$ である。

(2)
$a_{n-1}$ が 1 から 6 のどれかのとき、次の目 m で $a_{n}=7$ になるのは $m=7-a_{n-1}$ の 1 通りだけで、確率は $\dfrac{1}{6}$ である。したがって、$a_{n-1}\neq 7$ のとき $a_{n}\neq 7$ となる確率は $\dfrac{5}{6}$ である。
$a_{1}$ は 1 から 6 のどれかなので $a_{1}\neq 7$ であり、$7$ に入ると動かないことから、$a_{n}\neq 7$ となる確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}$ である。
したがって、$n\geqq 1$ について
$$P(a_{n}=7)=1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-1}$$

(3)
$a_{n-1}$ が 1 から 6 のどれかのとき、次の $a_{n}$ が 1 か 6 になる目は 2 通りで、$a_{n-1}$ の値によらない。
- $a_{n-1}=1$：目 1（$1+1=2$ で 1）、目 5（6）
- $a_{n-1}=2$：目 4（6）、目 6（$2+6=8$ で 6）
- $a_{n-1}=3$：目 3（6）、目 5（$3+5=8$ で 6）
- $a_{n-1}=4$：目 2（6）、目 4（$4+4=8$ で 6）
- $a_{n-1}=5$：目 1（6）、目 3（$5+3=8$ で 6）
- $a_{n-1}=6$：目 2（$6+2=8$ で 6）、目 6（$6+6=12$ で 1）
どの場合も確率は $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ である。
よって、$n\geqq 2$ のとき
$$P(a_{n}\in\{1,\,6\})=\dfrac{1}{3}P(a_{n-1}\neq 7)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-2}$$
また、$a_{n}=1$ になるのは、$a_{n-1}=1$ で目 1、または $a_{n-1}=6$ で目 6 のときだけなので、$n\geqq 3$ のとき
$$P(a_{n}=1)=\dfrac{1}{6}P(a_{n-1}\in\{1,\,6\})=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-3}=\dfrac{1}{18}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{n-3}$$
である。