5千葉大学 2023年 数学 第5問解答・解説

点 O を原点とする座標平面において、点 A と点 B が $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OA}=5$、$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OB}=2$、$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3$ を満たすとする。

(1) $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$ となるような実数 k は存在しないことを示せ。

(2) 点 B から直線 OA に下ろした垂線と OA との交点を H とする。$\overrightarrow{HB}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

(3) 実数 t に対し、直線 OA 上の点 P を $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OA}$ となるようにとる。同様に直線 OB 上の点 Q を $\overrightarrow{OQ}=(1-t)\overrightarrow{OB}$ となるようにとる。点 P を通り直線 OA と直交する直線を $\ell_1$ とし、点 Q を通り直線 OB と直交する直線を $\ell_2$ とする。$\ell_1$ と $\ell_2$ の交点を R とするとき、$\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、t を用いて表せ。

(4) 3点 O, A, B を通る円の中心を C とするとき、$\overrightarrow{OC}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。