2千葉大学 2023年 数学 第2問解答・解説

1 回の得点は 2、1、0 がそれぞれ確率 $\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{6},\,\dfrac{1}{2}$。$S_{3}$ が奇数になるのは得点 1 が奇数回のときである。(3) は $S_{4}$ の大きいほうから確率を足していく。

1 回のゲームで得点が 2、1、0 となる確率は、それぞれ $\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{6},\,\dfrac{1}{2}$ である。

(1)

$S_{2}=3$ となるのは、得点が (2, 1) または (1, 2) の順のときだから
$$2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{9}.$$

(2)

$S_{3}$ が奇数となるのは、得点 1 の回数が 1 回または 3 回のときである。得点 1 となる確率は $\dfrac{1}{6}$ だから
$${}_{3}\mathrm{C}_{1}\cdot\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}=\dfrac{75+1}{216}=\dfrac{19}{54}.$$

(3)

$S_{4}$ の最大値は 8 である。

・$S_{4}=8$：4 回とも 2。確率 $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{4}=\dfrac{16}{1296}$。

・$S_{4}=7$：2 が 3 回、1 が 1 回。確率 $4\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{32}{1296}$。

・$S_{4}=6$：2 が 3 回と 0 が 1 回、または 2 が 2 回と 1 が 2 回。確率 $4\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}\cdot\dfrac{1}{2}+6\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}=\dfrac{96+24}{1296}=\dfrac{120}{1296}$。

よって
$$P(S_{4}\geqq7)=\dfrac{48}{1296}=\dfrac{1}{27}\leqq\dfrac{1}{9},\qquad P(S_{4}\geqq6)=\dfrac{168}{1296}=\dfrac{7}{54}>\dfrac{1}{9}=\dfrac{144}{1296}.$$
$P(S_{4}\geqq n)$ は $n$ が大きいほど大きくならないから、求める最小の整数は $n=7$ である。