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千葉大学／2023年度

1千葉大学 2023年 数学 第1問解答・解説

図形と方程式

難易度必答 レベル 4/10 目安 20分編集部の評価

対象文系の学部など医学科は解かない

1問題

千葉大学2023年度第1問
座標平面上に点 O(0, 0)\mathrm{O}(0,\,0)、A(0, 2)\mathrm{A}(0,\,2)、B(2, 1)\mathrm{B}(\sqrt{2},\,1) をとる。線分 OA\mathrm{OA} 上に点 O\mathrm{O}、点 A\mathrm{A} と異なる点 P(0, p)\mathrm{P}(0,\,p) をとり、線分 BP\mathrm{BP} 上の点 Q\mathrm{Q} を、△APQ\triangle\mathrm{APQ} と △OBQ\triangle\mathrm{OBQ} の面積が等しくなるようにとる。

(1) 直線 BP\mathrm{BP} を表す方程式を求めよ。

(2) △OBQ\triangle\mathrm{OBQ} の面積を pp を用いて表せ。

(3) pp が 0<p<20<p<2 の範囲を動くとき、点 Q\mathrm{Q} の軌跡を求めよ。

出典：千葉大学 2023年度 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    y=1−p2x+py=\dfrac{1-p}{\sqrt{2}}x+p
  • (2)
    24p(2−p)\dfrac{\sqrt{2}}{4}p(2-p)
  • (3)
    放物線 y=−x2+322xy=-x^{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}x の 0<x<20<x<\sqrt{2} の部分

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

Q\mathrm{Q} を線分 PB\mathrm{PB} を s:(1−s)s:(1-s) に内分する点とおき、2 つの三角形の面積を ss と pp で表して等しいとおく。△APQ\triangle\mathrm{APQ} は底辺 AP\mathrm{AP} が yy 軸上にあるので、高さは Q\mathrm{Q} の xx 座標になる。

解答

(1)

直線 BP\mathrm{BP} の傾きは 1−p2\dfrac{1-p}{\sqrt{2}} だから、y=1−p2x+py=\dfrac{1-p}{\sqrt{2}}x+p。

(2)

Q\mathrm{Q} を線分 PB\mathrm{PB} を s:(1−s) (0≦s≦1)s:(1-s)\ (0\leqq s\leqq1) に内分する点とすると
Q(2 s, p+s(1−p)). \mathrm{Q}\left(\sqrt{2}\,s,\ p+s(1-p)\right).
△APQ\triangle\mathrm{APQ} は底辺 AP=2−p\mathrm{AP}=2-p、高さ 2 s\sqrt{2}\,s だから、面積は 22(2−p)s\dfrac{\sqrt{2}}{2}(2-p)s。

△OBQ\triangle\mathrm{OBQ} の面積は
12∣2{p+s(1−p)}−1⋅2 s∣=22p(1−s). \dfrac{1}{2}\left|\sqrt{2}\{p+s(1-p)\}-1\cdot\sqrt{2}\,s\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}p(1-s).
これらが等しいから (2−p)s=p(1−s)(2-p)s=p(1-s)、よって s=p2s=\dfrac{p}{2}。このとき
△OBQ=22p(1−p2)=24p(2−p). \triangle\mathrm{OBQ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}p\left(1-\dfrac{p}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{4}p(2-p).

(3)

s=p2s=\dfrac{p}{2} より、Q(x, y)\mathrm{Q}(x,\,y) は
x=22p,y=p+p2(1−p)=32p−12p2. x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}p,\qquad y=p+\dfrac{p}{2}(1-p)=\dfrac{3}{2}p-\dfrac{1}{2}p^{2}.
p=2 xp=\sqrt{2}\,x を代入して y=−x2+322xy=-x^{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}x。0<p<20<p<2 より 0<x<20<x<\sqrt{2}。

よって求める軌跡は、放物線 y=−x2+322xy=-x^{2}+\dfrac{3\sqrt{2}}{2}x の 0<x<20<x<\sqrt{2} の部分である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内分点の座標
  • 三角形の面積の公式
  • 媒介変数を消去する軌跡

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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