4千葉大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1) 微分すると
$$f'(x)=\frac{e^{-(a-b)x}}b\{ae^{-bx}-(a-b)\}.$$
中括弧を$x$で微分すると$-abe^{-bx}<0$となるので減少し、零になるのは
$$X(a,b)=\frac1b\log\frac a{a-b}.$$
この点の前では正、後では負なので、ここで唯一の最大値をとる。
(2) $t=b/a\to0+$とおくと
$$X(a,b)=\frac1a\frac{-\log(1-t)}t\longrightarrow\frac1a.$$
ここでは$\log x$の$x=1$における微分係数を用いた。
(3) $q=(a-b)/a$とおくと$e^{-bX}=q$なので
$$M(a,b)=\frac1b\{q^{(a-b)/b}-q^{a/b}\}=\frac1a q^{(a-b)/b}.$$
従って$aM=(1-t)^{1/t-1}$であり、
$$\log(aM)=\frac{\log(1-t)}t-\log(1-t)\longrightarrow-1.$$
指数関数の連続性より$\lim_{b\to0+}M(a,b)=1/(ae)$。