9千葉大学 2023年 数学 第9問解答・解説

関数$f(x)$と実数$t$に対し、$x$の関数$tx-f(x)$の最大値があればそれを$g(t)$と書く。

(1) $f(x)=x^{4}$のとき、任意の実数$t$について$g(t)$が存在する。この$g(t)$を求めよ。

以下、関数$f(x)$は連続な導関数$f'(x)$を持ち、次の2つの条件(i)、(ii)が成り立つものとする。

(i) $f'(x)$は増加関数、すなわち$a<b$ならば$f'(a)<f'(b)$。

(ii) $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty$かつ$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty$。

(2) 任意の実数$t$に対して、$x$の関数$tx-f(x)$は最大値$g(t)$を持つことを示せ。

(3) $s$を実数とする。$t$が実数全体を動くとき、$t$の関数$st-g(t)$の最大値は$f(s)$となることを示せ。