II順天堂大学 2026年 数学 第II問解答・解説

平行移動では座標を逆に置き換え、二次式は回転座標へ直接代入して標準形に直す。焦点・漸近線は標準形から計算し、直線の傾きも座標変換で求める。

(1) 移動後の座標を $(x,y)$ とすると，移動前の座標は $(x-1,y+2)$ である。したがって，移動後の楕円は
$$(x-1)^2+2(y+2)^2=4$$
であり，展開して
$$x^2+2y^2-2x+8y+5=0$$
を得る。よって，ア$=2$，イ$=8$，ウ$=5$ である。

(2) 原点中心に反時計回りに角 $\theta$ だけ回転する複素数の積は $\cos\theta+i\sin\theta$ だから，$\alpha=\cos\theta$，$\beta=\sin\theta$ である。また，
$$(\cos\theta+i\sin\theta)(x+iy)=(x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta)$$
より，$a=\cos\theta$，$b=-\sin\theta$，$c=\sin\theta$，$d=\cos\theta$ となる。したがって選択肢は，エが (C)，オが (A)，カが (C)，キが (B)，クが (A)，ケが (C) である。

(3) $Q(x,y)=3x^2+4\sqrt{3}xy-y^2$ とおく。直接展開すると
$$Q(x-2,y-1)=Q(x,y)-(12+4\sqrt{3})x+(2-8\sqrt{3})y+11+8\sqrt{3}$$
である。よって，$C_1$ の左辺は $Q(x-2,y-1)-15$ となり，$C_1$ は $Q=15$ を $(2,1)$ だけ平行移動した曲線である。したがって，$C_2$ の右辺はコサ$=15$，移動量はシ$=2$，ス$=1$ である。

$C_2$ の点 $(x,y)$ を原点中心に $\pi/6$ 回転する前の点を $(u,v)$ とする。(2)より
$$x=\frac{\sqrt{3}}2u-\frac12v,\qquad y=\frac12u+\frac{\sqrt{3}}2v$$
である。これを $Q$ に代入して整理すると
$$Q(x,y)=5u^2-3v^2$$
となる。したがって，回転前の曲線は $5u^2-3v^2=15$，すなわち
$$\frac{u^2}{3}-\frac{v^2}{5}=1$$
である。よってセ$=5$，ソ$=3$ である。この双曲線の焦点距離を $c$ とすると，標準形の関係 $c^2=3+5=8$ より $c=2\sqrt{2}$ だから，タ$=2$，チ$=2$ である。また，漸近線は $u^2/3-v^2/5=0$ より $v=\pm\sqrt{5/3}\,u=\pm(\sqrt{15}/3)u$ である。したがってツテ$=15$，ト$=3$ となる。

この直線の傾きを $m=\pm\sqrt{15}/3$ とすると，回転後の傾きは
$$\frac{y}{x}=\frac{u/2+v\sqrt{3}/2}{u\sqrt{3}/2-v/2} =\frac{1/\sqrt{3}+m}{1-m/\sqrt{3}}$$
である。$m=\sqrt{15}/3$ のときこれは $2\sqrt{3}+\sqrt{15}$，$m=-\sqrt{15}/3$ のときは $2\sqrt{3}-\sqrt{15}$ となる（各分母を有理化すれば確かめられる）。回転で中心は原点のままなので，$C_2$ の漸近線は原点を通り，$C_1$ はこれを $(2,1)$ だけ平行移動した曲線である。したがって $C_1$ の漸近線はともに $(2,1)$ を通り，傾きは $2\sqrt{3}\pm\sqrt{15}$ である。よってナ$=2$，ニ$=1$，ヌ$=2$，ネ$=3$，ノハ$=15$ である。