2名古屋大学 2026年 数学 第2問解答・解説

空間内の平面と直線・線分の交差を媒介変数と端点条件で表す

平面 $H$ の方程式を $lx+my+nz=p$ とおく。点 $\mathrm{C}(1,0,0)$ を代入すると $p=l$ である。さらに A, B を代入して
$$l+m+3n=0,\qquad (a+1)l+3m+4n=0$$
を得る。$l=0$ とするとこの 2 式から $m=n=0$ となり平面の方程式にならないので、$l\ne 0$ である。$l=5$ とおけば $m=1-3a,\ n=a-2$ となる。したがって
$$H:\quad 5x+(1-3a)y+(a-2)z=5.$$

直線 DE 上の点 P(t) の位置ベクトルを
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OD}}+t\overrightarrow{\mathrm{OE}}$$
と表す。成分で書くと $\mathrm{P}(t)=(-1-2t,\ 2-t,\ 1-t)$ である。これを平面の式に代入すると
$$5(-1-2t)+(1-3a)(2-t)+(a-2)(1-t)=5,$$
すなわち
$$(2a-9)t=10+5a$$
を得る。

(1)

$a=\dfrac{9}{2}$ なら左辺の係数は 0 だが、右辺は $\dfrac{65}{2}\ne 0$ なので、交点はない。$a\ne\dfrac{9}{2}$ ならこの一次方程式はただ 1 つの実数 $t$ をもつので、直線 DE と H は共有点をもつ。したがって $a\ne\dfrac{9}{2}$ である。

(2)

線分 DE は $0\leqq t\leqq 1$ に対応する。$F(x,y,z)=5x+(1-3a)y+(a-2)z-5$ とおくと
$$F(\mathrm{D})=-5(a+2),\qquad F(\mathrm{E})=-(3a+19).$$
$F$ は一次式なので、$F(\mathrm{P}(t))=(1-t)F(\mathrm{D})+tF(\mathrm{E})$ は $t$ の一次式である。よって、$0\leqq t\leqq 1$ で $F(\mathrm{P}(t))=0$ となる $t$ が存在するのは、端点での値が 0 を含んで符号をまたぐ場合、すなわち $F(\mathrm{D})F(\mathrm{E})\leqq 0$ のとき、かつそのときに限る。したがって
$$5(a+2)(3a+19)\leqq 0$$
である。これを解いて $-\dfrac{19}{3}\leqq a\leqq -2$ を得る。両端では、それぞれ E, D が平面上にあるので、等号を含む。