3東京大学 2026年 数学 第3問解答・解説

(1) $M=(u,v,0)$ とおく。重心条件から $P+Q+R=(6,0,3)$ であり、$P+Q=2M$ より
$$R=(6-2u,-2v,3).$$
$R$ が半径5の球面上にある条件は
$$(6-2u)^2+4v^2+9=25 \quad\text{すなわち}\quad (u-3)^2+v^2=4.$$
ただし $M=(5,0,0)$ なら $P+Q=(10,0,0)$ となる。$|P|=|Q|=5$ なので三角不等式の等号から $P=Q=(5,0,0)$ となり、相異なる条件に反する。
逆に、この円周上で $M\ne(5,0,0)$ なら $|M|<5$。$M$ に垂直なxy平面内のベクトル $D$ を $|D|=\sqrt{25-|M|^2}$ となるようにとれば、$P=M+D,\ Q=M-D$ は相異なり、ともに球面上にある。上の式で定まる $R$ も球面上で、z座標が3だからP,Qとも異なる。したがって軌跡は円周から $(5,0,0)$ を除いたもの。

(2) xy平面上の点 $X=(x,y,0)$ を考える。$M$ を中点とする球面上の弦の半分のベクトルを $D$ とすると、$|M+D|=|M-D|=5$ より $M\cdot D=0$。よって $X$ が線分PQ上にあるための条件は、ある許される $M$ に対して
$$X\cdot M=|M|^2$$
となることである。また、線分PQは半径5の円盤内にある。逆に、$|X|\leqq5$ かつこの内積条件を満たす許されるMがあれば、$X-M\perp M$ かつ $|X-M|^2=|X|^2-|M|^2\leqq25-|M|^2$ だから、Xは中点Mをもつ球面上の弦の線分内にある。

$(u-3)^2+v^2=4$ を満たす $M=(u,v,0)$ について $|M|^2=6u-5$ なので、内積条件は
$$(x-6)u+yv+5=0.$$
これはuv平面上の直線であり、中心 $(3,0)$、半径2の円との交点が存在する条件は
$$\frac{|3(x-6)+5|}{\sqrt{(x-6)^2+y^2}}\leqq2 \quad\text{すなわち}\quad 5(x-3)^2-4y^2\leqq20.$$
ここで $|X|\leqq5$ の範囲では分母は0にならない。交点が禁じられた $M=(5,0,0)$ だけとなるのは、対応直線が円にその点で接するときに限る。接線は $u=5$ であり、対応直線がこれになるのは $X=(5,0,0)$ の場合だけである。この点では弦が退化して $P=Q$ となるため除く。
したがって求める範囲は
$$x^2+y^2\leqq25,\quad 5(x-3)^2-4y^2\leqq20\quad\text{ただし }(x,y)\ne(5,0).$$
図示する際は、原点中心・半径5の円盤内で、双曲線 $\dfrac{(x-3)^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{5}=1$ の不等式側（中心 $(3,0)$ を含む側）を塗る。ただし $(5,0)$ は除く。円と双曲線の交点は $\left(-\dfrac{5}{3},\ \pm\dfrac{10\sqrt{2}}{3}\right)$ および $(5,0)$ である。

領域の形を次の図に示す。塗りつぶした部分が求める領域で、白丸の点 $(5,0)$ は除く。