3大阪公立大学 2026年 数学 第3問解答・解説

直線 $\mathrm{EA}$ 上の点を $\mathrm{E}+u(\mathrm{A}-\mathrm{E})=(1-u,\,us)$ とおく。単位円上にある条件は $(1-u)^{2}+u^{2}s^{2}=1$ であり、$u=0$ は $\mathrm{E}$ に対応する。もう一つの解は $u=\dfrac{2}{1+s^{2}}$ だから、$\mathrm{P}\left(\dfrac{s^{2}-1}{s^{2}+1},\,\dfrac{2s}{s^{2}+1}\right)$。同様に $\mathrm{Q}\left(\dfrac{t^{2}-1}{t^{2}+1},\,\dfrac{2t}{t^{2}+1}\right)$。$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$ は $(-1,\,s)$ に比例し、$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は $(t^{2}-1,\,2t)$ に比例する。垂直条件は $-(t^{2}-1)+2st=0$、すなわち $t=s\pm\sqrt{s^{2}+1}$。$s<t$ よりプラスを選ぶ。

次の角 $u$ を、$\tan u=s\ \left(-\dfrac{\pi}{2}<u<\dfrac{\pi}{2}\right)$ を満たすものとする。$x$ 軸の正の向きから反時計回りに測って、$\mathrm{P}$ は $\pi-2u$、$\mathrm{Q}$ は $\dfrac{\pi}{2}-u$、$\mathrm{E}$ は $0$ の角に対応する。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{E}$ から $\mathrm{P}$ へ向かう円弧の中点なので、弦 $\mathrm{QE}$ と $\mathrm{QP}$ のなす円周角は、$\mathrm{Q}$ を含まない弧 $\mathrm{EP}$ の半分、すなわち $\dfrac{\pi}{2}+u$ となる。これが $\angle\mathrm{EQP}=\dfrac{\pi}{3}$ に等しいので $u=-\dfrac{\pi}{6}$、$s=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。問2の式に代入して $t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。