1埼玉医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

平行移動後の三次関数の極値差からaを定めてfを戻し、点と直線の距離を導関数で調べる。

問1では，グラフを右へ $a$，上へ $b$ だけ平行移動したので
$$g(x)=f(x-a)+b,\qquad f(x)=g(x+a)-b$$
である。また
$$g'(x)=3x^2-6ax-9a^2=3(x+a)(x-3a).$$
$a>0$ より，$g'$ は $x=-a$ の前後で正から負へ，$x=3a$ の前後で負から正へ変わる。したがって，$x=-a$ で極大，$x=3a$ で極小となる。それぞれの値は
$$g(-a)=5a^3+b,\qquad g(3a)=-27a^3+b$$
だから，その差は $32a^3=32$。$a>0$ より $a=1$ である。よって
$$\begin{aligned} f(x)&=g(x+1)-b\\ &=(x+1)^3-3(x+1)^2-9(x+1)\\ &=x^3-12x-11. \end{aligned}$$$$f(x)=g(x+1)-b$$$$=(x+1{)}^3-3(x+1{)}^2-9(x+1)$$$$=x^3-12x-11.$$
枠1〜6は順に $1,0,1,2,1,1$。

問2では，直線 $\ell$ を $3x-y-1=0$ と表す。点 $P=(p,f(p))$ からこの直線までの距離は
$$h(p)=\frac{|3p-f(p)-1|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}} =\frac{|-p^3+15p+10|}{\sqrt{10}}.$$
$q(p)=-p^3+15p+10$ とおくと
$$q'(p)=15-3p^2=3(5-p^2).$$
$p>0$ では $q$ は $p=\sqrt{5}$ の前で増加し，後で減少する。また $q(\sqrt{5})=10\sqrt{5}+10>0$ なので，$\sqrt{5}$ の近くで $h(p)=q(p)/\sqrt{10}$。したがって $h$ も $p=\sqrt{5}$ の前後で増加から減少へ変わり，ここで極大となる。その値は
$$h(\sqrt{5})=\frac{10\sqrt{5}+10}{\sqrt{10}}=5\sqrt{2}+\sqrt{10}.$$
枠7〜11は順に $5,5,2,1,0$。