4千葉大学 2022年 数学 第4問解答・解説

0 以上 9999 以下の整数を 4 桁で表示し、以下の操作を行うこととする。ただし、4 桁で表示するとは、整数が 100 以上 999 以下の場合は千の位の数字を 0、10 以上 99 以下の場合は千の位と百の位の数字を 0、1 以上 9 以下の場合は千の位と百の位と十の位の数字を 0、そして 0 はどの位の数字も 0 とすることである。

操作：千の位の数字と十の位の数字を入れ換える。さらに、百の位の数字と一の位の数字を入れ換える。

また、整数 $L$ に対し、操作によって得られた整数を $\overline{L}$ と表す。

(1) $M$ を 0 以上 9999 以下の整数とし、$M=100x+y$ のように整数 $x,\,y\ (0\leqq x\leqq 99,\ 0\leqq y\leqq 99)$ を用いて表す。操作によって得られた $\overline{M}$ が $M$ の $\dfrac{2}{3}$ 倍に 3 を足した数に等しいならば、$-197x+298y=9$ が成り立つことを証明せよ。

(2) $N$ が 0 以上 9999 以下の整数ならば、操作によって得られた整数 $\overline{N}$ は $N$ の $\dfrac{2}{3}$ 倍に 1 を足した数と等しくならないことを証明せよ。