1千葉大学 2022年 数学 第1問解答・解説

時計回りを正として、1 回の操作での移動量を $\pm1,\,\cdots,\,\pm6$ で表す。点の位置は移動量の和を 12 で割った余りで決まる。球は戻さないので、色の出方の確率は取り出す順に掛けて求める。正三角形は、3 点が 4 つずつ離れているときに限る。

時計回りを正の向きとし、$k$ 回目の操作での移動量を $s_{k}$ とする。白球なら $s_{k}$ はサイコロの目、黒球なら目に $-1$ を掛けたものである。

2 回目までの色の出方の確率は
$$P(\text{白白})=\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{15},\quad P(\text{黒黒})=\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5},\quad P(\text{白黒})=P(\text{黒白})=\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{15}.$$

(1)

$\mathrm{R}=\mathrm{A}_{1}$ となるのは $s_{1}+s_{2}$ が 12 の倍数のときである。$-12\leqq s_{1}+s_{2}\leqq 12$ だから、$s_{1}+s_{2}=0$ または $\pm12$ である。

・$s_{1}+s_{2}=0$：色が異なり、目が等しいとき。確率は $\dfrac{8}{15}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{45}$。

・$s_{1}+s_{2}=\pm12$：色が同じで、目がともに 6 のとき。確率は $\left(\dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{5}\right)\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{7}{540}$。

よって求める確率は
$$\dfrac{4}{45}+\dfrac{7}{540}=\dfrac{48+7}{540}=\dfrac{11}{108}.$$

(2)

12 個の点のうち 3 点が正三角形をなすのは、3 点が 4 つずつ離れているときである。$\mathrm{Q}$ から $\mathrm{R}$、$\mathrm{R}$ から $\mathrm{S}$ への移動がともに時計回りに 4 つ分（$s_{2}\equiv s_{3}\equiv4$）か、ともに反時計回りに 4 つ分（$s_{2}\equiv s_{3}\equiv-4$）であればよい（$\mathrm{Q},\,\mathrm{R}$ の差が 4 で $\mathrm{R},\,\mathrm{S}$ の差が $-4$ だと $\mathrm{S}=\mathrm{Q}$ となる）。$-6\leqq s_{k}\leqq6$ だから、$s_{2}=s_{3}=4$ または $s_{2}=s_{3}=-4$ である。

・2 回目・3 回目がともに白球：白球は 2 個なので、1 回目は黒球。確率は $\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{15}$。

・2 回目・3 回目がともに黒球：1 回目は白でも黒でもよく、確率は $\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{5}$。

どちらの場合も、2 回目・3 回目の目がともに 4 である確率は $\dfrac{1}{36}$ だから、求める確率は
$$\left(\dfrac{1}{15}+\dfrac{2}{5}\right)\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{7}{15}\cdot\dfrac{1}{36}=\dfrac{7}{540}.$$