3千葉大学 2022年 数学 第3問解答・解説

交点の $x$ 座標は $x=0$ と $|x-2|=a$ の解である。面積は、交点 $0,\,2-a,\,2+a$ で区間を分けて、上下を確かめて積分する。$2-a\leqq x\leqq 2+a$ の部分は $x=2$ を中心に対称に見ると計算が軽くなる。

(1)

$ax=x|x-2|$ の解は $x=0$ と、$|x-2|=a$ を満たす $0$ でない $x$ である。

・$a<0$：$|x-2|=a$ は解をもたず、交点は 1 個。

・$a=0$：$x=2$ で、交点は 2 個。

・$a>0$：$x=2\pm a$。$a=2$ のときは $2-a=0$ となり交点は 2 個、$a\neq2$ のときは 3 個。

よって交点の個数が最大（3 個）となるのは $0<a<2,\ 2<a$ のときである。

(2)

$0\leqq a\leqq2$ のとき、交点の $x$ 座標は $0,\,2-a,\,2+a$ である。$0\leqq x\leqq 2-a$ では $|x-2|=2-x\geqq a$ だから $x|x-2|\geqq ax$、$2-a\leqq x\leqq 2+a$ では $|x-2|\leqq a$ だから $ax\geqq x|x-2|$ である。

$$\int_{0}^{2-a}\{x(2-x)-ax\}\,dx=\int_{0}^{2-a}x\{(2-a)-x\}\,dx=\dfrac{(2-a)^{3}}{6}.$$
$x=u+2$ とおくと
$$\int_{2-a}^{2+a}x(a-|x-2|)\,dx=\int_{-a}^{a}(u+2)(a-|u|)\,du=2\int_{-a}^{a}(a-|u|)\,du=2a^{2}$$
（$u(a-|u|)$ は奇関数なので積分は $0$）。よって
$$S(a)=\dfrac{(2-a)^{3}}{6}+2a^{2}.$$

(3)

$$S'(a)=-\dfrac{(2-a)^{2}}{2}+4a=-\dfrac{a^{2}-12a+4}{2}.$$
$a^{2}-12a+4=0$ の解は $a=6\pm4\sqrt{2}$ で、$0\leqq a\leqq2$ にあるのは $a=6-4\sqrt{2}$ である。$0\leqq a<6-4\sqrt{2}$ で $S'(a)<0$、$6-4\sqrt{2}<a\leqq2$ で $S'(a)>0$ だから、$S(a)$ を最小にするのは $a=6-4\sqrt{2}$ である。