5千葉大学 2022年 数学 第5問解答・解説

各出目の素因数2・3を分類し、積の条件を満たす順序付き出目を数えて全事象$6^n$で割る。

全出目の順序付き組は
$$6^n$$
通りで、いずれも同様に確からしい。積が3で割り切れないためには、どのサイコロも3または6を出さないことが必要十分である。

(1) 積が2でも割り切れないためには、さらにすべての出目が奇数である。各サイコロの出目は1または5の2通りなので、
$$P_1=\frac{2^n}{6^n}=\frac{1}{3^n}.$$

(2) 積が2で割り切れるが4では割り切れないためには、積に含まれる2の因数がちょうど1個でなければならない。さらに3で割り切れない条件のもとでは、ちょうど1個のサイコロが2を出し、残りはすべて1または5を出す場合に限る。したがって該当する出目は
$$n\,2^{n-1}$$
通りであり、
$$P_2=\frac{n2^{n-1}}{6^n}=\frac{n}{2\cdot3^n}.$$

(3) 3で割り切れない出目は各サイコロについて {1,2,4,5} の4通りなので、合計
$$4^n$$
通りある。このうち積が4で割り切れないのは、全てが1または5の場合
$$2^n$$
通り、またはちょうど1個が2で残りが1または5の場合
$$n2^{n-1}$$
通りである。よって
$$P_3=\frac{4^n-2^n-n2^{n-1}}{6^n}=\frac{2^{n+1}-n-2}{2\cdot3^n}.$$