6千葉大学 2022年 数学 第6問解答・解説

座標空間において、原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(1,\,0,\,-1)$と点$\mathrm{B}(0,\,5,\,0)$がある。実数$t$を用いて$t\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表される点全体を$\ell$とする。また、$xy$平面上の$y=x^{2}$を満たす点全体からなる曲線を$C$とする。

(1) 曲線$C$上の点$\mathrm{P}(a,\,a^{2},\,0)$を固定する。$\ell$上の点$\mathrm{Q}$を、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であるようにとる。このとき、点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ。

(2) 曲線$C$上の点$\mathrm{R}$と$\ell$上の点$\mathrm{S}$のうち、$|\overrightarrow{\mathrm{RS}}|$を最小にする点$\mathrm{R}$と点$\mathrm{S}$の組み合わせをすべて求めよ。また、そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{RS}}|$の値を求めよ。