2東北大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$a,b,c$ は正の整数とする。

(1) $(a,b,c)=(1,2,3)$ とすれば
$$1^2+2\cdot2^2=1+8=9=3^2.$$
したがって条件を満たす一例は $(1,2,3)$。

(2) 任意の正整数 $t$ に対し $(a,b,c)=(t,2t,3t)$ とおくと
$$a^2+2b^2=t^2+2(2t)^2=9t^2=(3t)^2=c^2.$$
$t$ が異なれば $a=t$ も異なるため、正整数解は無数に存在する。

(3) 元の式を $c^2-a^2=2b^2$ と書く。これを2で割った余りで考えると $a^2\equiv c^2\pmod2$。整数 $x$ は $x^2\equiv x\pmod2$ を満たすので $a\equiv c\pmod2$、よって $a+c$ は偶数である。
また、同じ偶奇の整数の平方は4で割った余りも等しい。実際、偶数の平方は4の倍数、奇数の平方は4で割ると1余る。したがって $(c^2-a^2)=2b^2$ は $4$ で割り切れる、ゆえに $b^2$ は偶数であり $b$ も偶数である。

さらに $a,c$ が偶数と仮定する。すでに $b$ も偶数と分かったので $a=2A,\ b=2B,\ c=2C$ と書ける。これを元の式に代入し4で割れば
$$A^2+2B^2=C^2.$$
$(A,B,C)$ も正整数解だから、いま証明した「解の第2成分は偶数」という結論をこの組に適用でき、$B$ は偶数。よって $b=2B$ は4の倍数である。

(3)の結論は両答案と一致する。