3名古屋大学 2026年 数学 第3問解答・解説

素数冪ごとに因子 $a,b,c$ のどれか一つへ割り当てる。順序を区別する場合は積の法則を使い、昇順の場合は素数冪の集まりを高々 3 個の空でない集まりに分ける場合の数を数える。

(1)

$120=2^{3}\cdot3\cdot5$ である。条件(*)では、同じ素数が 2 つの数に含まれることはないので、素数冪 $8$、$3$、$5$ を 3 つの数に割り当てる。$a\leqq b\leqq c$ と並べた場合、割当ては素数冪の集まりを高々 3 個の空でない集まりに分けることに対応する。可能な分け方をすべて挙げると、次の 5 通りである。
1 つにまとめる（$8\cdot3\cdot5$）。
2 つに分ける（$8$ と $3\cdot5$、$3$ と $8\cdot5$、$5$ と $8\cdot3$）。
3 つに分ける（$8$、$3$、$5$）。
対応する組は、順に $(1,1,120)$、$(1,8,15)$、$(1,3,40)$、$(1,5,24)$、$(3,5,8)$ である。昇順に並べて答えると、
$$(1,1,120),\quad(1,3,40),\quad(1,5,24),\quad(1,8,15),\quad(3,5,8).$$
いずれも条件(*)を満たす。素因数分解の一意性により異なる分け方から同じ組は得られず、これらで尽くされる。

(2)

$N!$ に現れる素数は、$N$ 以下の $m$ 個の素数 $p_{1}$、$p_{2}$、$\cdots$、$p_{m}$ である。各素数の指数を $e_{1}$、$\cdots$、$e_{m}$ とすると、
$$N!=p_{1}^{e_{1}}\times p_{2}^{e_{2}}\times\cdots\times p_{m}^{e_{m}},\qquad e_{i}\geqq1.$$
条件(*)より、同じ素数を 2 つの因子に分けて含めることはできない。したがって、各素数冪 $p_{i}^{e_{i}}$ は $a,b,c$ のうちちょうど 1 つに入る。逆に、この割当てを行えば、積は $N!$ であり、3 数は互いに素となる。組は順序付きなので、各素数冪に対して 3 通りの選択が独立にあり、求める個数は
$$3^{m}$$
である。

(3)

$a\leqq b\leqq c$ を満たす組は、$m$ 個の素数冪を 1 個、2 個または 3 個の空でない集まりに分けたものと一対一に対応する。各集まりに入った素数冪の積を作り、それらを小さい順に並べれば組が定まり、素因数分解の一意性により対応は一対一である。

1 個の集まりに分ける方法は 1 通りである。2 個の名前付きの集まりに全ての素数冪を割り当て、両方を空でなくする方法は $2^{m}-2$ 通りである。集まりの名前を入れ替えた 2 通りが同じ分け方を表すので、2 個に分ける方法は
$$\dfrac{2^{m}-2}{2}=2^{m-1}-1$$
通りである。

3 個の名前付きの集まりに割り当てる方法は $3^{m}$ 通りある。指定した 1 個の集まりが空になる割当ては $2^{m}$ 通りなので、それを 3 通り分だけ引き、さらに 2 個の集まりが空になる重複を 3 通り足すと、3 個すべてが空でない割当ては
$$3^{m}-3\cdot2^{m}+3$$
通りとなる。名前付き 3 集まりの順序 $3!=6$ 通りは同じ分け方を表すから、3 個に分ける方法は
$$\dfrac{3^{m}-3\cdot2^{m}+3}{6}$$
通りである。したがって、求める個数は
$$1+\left(2^{m-1}-1\right)+\dfrac{3^{m}-3\cdot2^{m}+3}{6}=\dfrac{3^{m}+3}{6}$$
である。