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千葉大学／2022年度

2千葉大学 2022年 数学 第2問解答・解説

図形と方程式図形と計量

難易度勝負 レベル 5/10 目安 25分編集部の評価

対象文系の学部など医学科は解かない

1問題

千葉大学2022年度第2問
座標平面において、原点 O\mathrm{O} と点 A(1, 0)\mathrm{A}(1,\,0) と点 B(0, 1)\mathrm{B}(0,\,1) がある。0<t<10<t<1 に対し、線分 BO, OA, AB\mathrm{BO},\,\mathrm{OA},\,\mathrm{AB} のそれぞれを t:(1−t)t:(1-t) に内分する点を P, Q, R\mathrm{P},\,\mathrm{Q},\,\mathrm{R} とする。

(1) △PQR\triangle\mathrm{PQR} の面積を tt の式で表せ。

(2) △PQR\triangle\mathrm{PQR} が二等辺三角形になるときの tt の値をすべて求めよ。

(3) θ=∠RPQ\theta=\angle\mathrm{RPQ} とする。(2) のそれぞれの場合に cos⁡θ\cos\theta を求めよ。

出典：千葉大学 2022年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    3t2−3t+12\dfrac{3t^{2}-3t+1}{2}
  • (2)
    t=13, 12, 23t=\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3}
  • (3)
    t=13t=\dfrac{1}{3} のとき cos⁡θ=45\cos\theta=\dfrac{4}{5}、t=12t=\dfrac{1}{2} のとき cos⁡θ=22\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}、t=23t=\dfrac{2}{3} のとき cos⁡θ=1010\cos\theta=\dfrac{\sqrt{10}}{10}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

3 点の座標を tt で表せば、面積は 2 つのベクトルの成分から、辺の長さは 2 点間の距離から求められる。二等辺三角形は、3 組の辺のどれが等しいかで場合を分ける。cos⁡θ\cos\theta は余弦定理で求める。

解答

P(0, 1−t)\mathrm{P}(0,\,1-t)、Q(t, 0)\mathrm{Q}(t,\,0)、R(1−t, t)\mathrm{R}(1-t,\,t) である。

(1)

PQ→=(t, t−1)\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=(t,\,t-1)、PR→=(1−t, 2t−1)\overrightarrow{\mathrm{PR}}=(1-t,\,2t-1) だから
△PQR=12∣t(2t−1)−(t−1)(1−t)∣=12∣3t2−3t+1∣=3t2−3t+12 \triangle\mathrm{PQR}=\dfrac{1}{2}\left|t(2t-1)-(t-1)(1-t)\right|=\dfrac{1}{2}\left|3t^{2}-3t+1\right|=\dfrac{3t^{2}-3t+1}{2}
（3t2−3t+1=3(t−12)2+14>03t^{2}-3t+1=3\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{4}>0）。

(2)

PQ2=2t2−2t+1,QR2=(1−2t)2+t2=5t2−4t+1,RP2=(1−t)2+(2t−1)2=5t2−6t+2. \mathrm{PQ}^{2}=2t^{2}-2t+1,\quad \mathrm{QR}^{2}=(1-2t)^{2}+t^{2}=5t^{2}-4t+1,\quad \mathrm{RP}^{2}=(1-t)^{2}+(2t-1)^{2}=5t^{2}-6t+2.
・PQ=QR\mathrm{PQ}=\mathrm{QR}：3t2−2t=03t^{2}-2t=0 より t=23t=\dfrac{2}{3}。

・PQ=RP\mathrm{PQ}=\mathrm{RP}：3t2−4t+1=03t^{2}-4t+1=0 より (3t−1)(t−1)=0(3t-1)(t-1)=0、0<t<10<t<1 から t=13t=\dfrac{1}{3}。

・QR=RP\mathrm{QR}=\mathrm{RP}：2t−1=02t-1=0 より t=12t=\dfrac{1}{2}。

よって t=13, 12, 23t=\dfrac{1}{3},\,\dfrac{1}{2},\,\dfrac{2}{3}。

(3)

余弦定理より cos⁡θ=PQ2+PR2−QR22 PQ⋅PR\cos\theta=\dfrac{\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{PR}^{2}-\mathrm{QR}^{2}}{2\,\mathrm{PQ}\cdot\mathrm{PR}} である。

・t=13t=\dfrac{1}{3}：PQ2=PR2=59\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PR}^{2}=\dfrac{5}{9}、QR2=29\mathrm{QR}^{2}=\dfrac{2}{9} より cos⁡θ=89109=45\cos\theta=\dfrac{\frac{8}{9}}{\frac{10}{9}}=\dfrac{4}{5}。

・t=12t=\dfrac{1}{2}：PQ2=12\mathrm{PQ}^{2}=\dfrac{1}{2}、PR2=QR2=14\mathrm{PR}^{2}=\mathrm{QR}^{2}=\dfrac{1}{4} より cos⁡θ=122⋅22⋅12=22\cos\theta=\dfrac{\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}。

・t=23t=\dfrac{2}{3}：PQ2=QR2=59\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{QR}^{2}=\dfrac{5}{9}、PR2=29\mathrm{PR}^{2}=\dfrac{2}{9} より cos⁡θ=292⋅53⋅23=110=1010\cos\theta=\dfrac{\frac{2}{9}}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 内分点の座標
  • 2点間の距離
  • 余弦定理
  • 三角形の面積の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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