7千葉大学 2022年 数学 第7問解答・解説

(1) $u=x-3y$ とおくと、$(*)$ は $u^2-8y^2=9$、すなわち $u^2=8y^2+9$ と変形できる。$y=1$ のとき $u^2=17$ であり、$4^2<17<5^2$ より整数解はない。$y=2$ のとき $u^2=41$ であり、$6^2<41<7^2$ より整数解はない。$y=3$ のとき $u^2=81$ なので $u=\pm9$、したがって $x=3y+u=9\pm9$。$x>0$ より $x=18$ であり、$y$ の最小値は $3$ である。

(2) $x=a_{n+1},\ y=a_n$ とおけば、漸化式より $(a_{n+2},a_{n+1})=(6x-y,x)$ である。よって
$$(6x-y)^2-6(6x-y)x+x^2=x^2-6xy+y^2=9,$$
となり、組 $(a_{n+2},a_{n+1})$ も $(*)$ を満たす。

(3) $a_1=3,\ a_2=18$ とし、$a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$ で数列を定める。$(a_2,a_1)=(18,3)$ は $(*)$ を満たすので、(2) を繰り返すと、すべての $n\geqq1$ について $(a_{n+1},a_n)$ は $(*)$ を満たす。また $a_2>a_1>0$ であり、$a_{n+1}>a_n>0$ なら
$$a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n>5a_{n+1}>a_{n+1}>0$$
である。したがって帰納的に $a_n$ は正であり、nが1増えるたびに必ず大きくなる。ゆえに $(a_{n+1},a_n)$ は互いに異なる正の整数解を無限に与える。