8千葉大学 2022年 数学 第8問解答・解説

変数置換で積分する範囲を $0\leqq t\leqq1$ にそろえ、積分の大小関係とはさみうち、および端点に重みが集中することを分割評価で示す。

$t=nx$ と置換すると、$x=t/n,\ dx=dt/n$ より
$$A(m,n)=(m+1)\int_0^1t^m e^{-t/n}\,dt.$$
$0\leqq t\leqq1$ では $e^{-1/n}\leqq e^{-t/n}\leqq1$ であり、$(m+1)t^m\geqq0$ だから、定積分の大小関係より
$$e^{-1/n}(m+1)\int_0^1t^m\,dt\leqq A(m,n)\leqq(m+1)\int_0^1t^m\,dt.$$
ここで $(m+1)\int_0^1t^m\,dt=1$ なので、(1) が示された。

(2) $m$ を固定して $n\to\infty$ とすると、$e^{-1/n}\to1$。よって (1) の両端がともに1に収束するから、はさみうちにより $b_m=1$。

(3) $n$ を固定する。(1) の変形から $A(m,n)\geqq e^{-1/n}$。任意の $0<r<1$ について積分を $0\leqq t\leqq r$ と $r\leqq t\leqq1$ の範囲に分けると、$e^{-t/n}-e^{-1/n}\leqq1-e^{-1/n}$（$0\leqq t\leqq r$）、および $e^{-t/n}-e^{-1/n}\leqq e^{-r/n}-e^{-1/n}$（$r\leqq t\leqq1$）である。したがって
$$0\leqq A(m,n)-e^{-1/n}\leqq r^{m+1}(1-e^{-1/n})+(1-r^{m+1})(e^{-r/n}-e^{-1/n}).$$
まず $m\to\infty$ とすると $r^{m+1}\to0$ なので、差は、$m$ を大きくすると $e^{-r/n}-e^{-1/n}$ 以下に近づく。次に $r\to1$ とすればこの上界は0に収束する。したがって $c_n=e^{-1/n}$。