3金沢大学 2026年 数学 第3問解答・解説

整数 $a$ と自然数 $n$ に対し
$$p_n=n^n+(-1)^n(an^2-n)+(n-1)^2$$
とし、$p_n$ を $3$ で割った余りを $r_n$ とする。すべての自然数 $n$ で $r_n$ が一定となるための $a$ を求める。

まず $n=3$ とすると
$$p_3=3^3-(9a-3)+(3-1)^2=34-9a\equiv1\pmod3.$$
したがって、余りが一定ならその値は $1$ である。一方、$n=1$ では
$$p_1=1-(a-1)=2-a.$$
これも $1$ と合同でなければならないから
$$a\equiv1\pmod3$$
が必要である。

逆に $a\equiv1\pmod3$ とする。$n$ の $3$ で割った余りで場合分けする。

・ $n\equiv0\pmod3$ のとき、$n^n\equiv0$、$an^2-n\equiv0$、$(n-1)^2\equiv1$ なので $p_n\equiv1\pmod3$。

・ $n\equiv1\pmod3$ のとき、$n^n\equiv1$、$an^2-n\equiv a-1\equiv0$、$(n-1)^2\equiv0$ なので $p_n\equiv1\pmod3$。

・ $n\equiv2\pmod3$ のとき、$n\equiv-1$ より $n^n\equiv(-1)^n$、また $an^2-n\equiv a+1\equiv-1$ であり、$(n-1)^2\equiv1$ である。よって
$$p_n\equiv(-1)^n+(-1)^n(-1)+1\equiv1\pmod3.$$

どの場合も余りは $1$ である。したがって条件を満たす整数は
$$\boxed{a\equiv1\pmod3},\qquad\text{すなわち}\qquad\boxed{a=3k+1\ (k\text{ は整数})}.$$