II杏林大学 2026年 数学 第II問解答・解説

3進法の位取りから各位の和と末尾桁の関係を導き、整数の剰余および80の補数関係と有限和に適用した。

(a) $23=212_{(3)}$ なので、$f(23)=2+1+2=5$ である。$0\leqq n<8$ なら3進法表示は $21_{(3)}$ 以下であり、各位の和は3以下である。したがって、$8=22_{(3)}$ が $f(n)=4$ を満たす最小の整数となる。9から13までを3進法で表すと
$$9=100_{(3)},\quad 10=101_{(3)},\quad 11=102_{(3)},\quad 12=110_{(3)},\quad 13=111_{(3)}$$
これらの各位の和は順に $1,2,3,2,3$ であるから、次に条件を満たす整数は $14=112_{(3)}$ である。

$3m+r$ は $m$ の3進法表示の末尾に $r$ を付けた数である（$r=0,1,2$）。よって
$$f(3m)=f(m),\quad f(3m+1)=f(m)+1,\quad f(3m+2)=f(m)+2.$$
したがって解答群は順に③、⑥、⑦である。また
$$2026=2\cdot729+2\cdot243+81+1=2210001_{(3)}$$
より、$f(2026)=2+2+1+1=6$ である。

$3^m$ は1の後に0が $m$ 個並ぶので $f(3^m)=1$。また、$3^m-1$ は2が $m$ 個並ぶので $f(3^m-1)=2m$（解答群②）である。さらに、1が $m$ 個並ぶ数を3進法で表すと、各桁を2倍しても繰り上がりはなく、2が $m$ 個並ぶ数になる。よって
$$2\cdot\left(\underbrace{11\cdots1}_{m\text{桁}}\right)_{(3)}=\left(\underbrace{22\cdots2}_{m\text{桁}}\right)_{(3)}=3^m-1,\qquad \frac{3^m-1}{2}=\left(\underbrace{11\cdots1}_{m\text{桁}}\right)_{(3)}.$$
したがって $f((3^m-1)/2)=m$（解答群①）である。

(b) $3^m$ は奇数なので、2で割った余りは1である。4桁の3進法表示では $A\in\{1,2\}$、$B,C,D\in\{0,1,2\}$ であり、
$$n=27A+9B+3C+D.$$
係数 $27,9,3$ はすべて奇数であるから、$n\equiv A+B+C+D=f(n)\pmod 2$。よって $n-f(n)$ は2で割り切れ、シは解答群②である。また $n\equiv D\pmod 3$ なので $n-D$ は3で割り切れ、スは解答群⑨である。

(c) $80=3^4-1=2222_{(3)}$ だからセは4、$f(80)=8$ だからソは8である。$0\leqq k\leqq80$ を先頭に0を補った4桁の3進法表示 $k=(d_3d_2d_1d_0)_{(3)}$ とする。各 $d_i$ は0,1,2のいずれかなので、$80=2222_{(3)}$ から引くとき借りは生じず、$80-k$ の各桁は順に $2-d_3,2-d_2,2-d_1,2-d_0$ である。したがって
$$f(80-k)=(2-d_3)+(2-d_2)+(2-d_1)+(2-d_0)=8-f(k).$$
よってタは8。この関係は $k=0,80$ にも成り立つので、$(0,80),(1,79),\ldots,(39,41)$ の40組は各組の桁和の合計が8である。中央の $k=40=1111_{(3)}$ は桁和4だから
$$\sum_{k=0}^{80}f(k)=40\cdot8+4=324.$$

各 $k=1,\ldots,80$ について $2\cdot3^{k-1}$ は3進法で一つの桁だけが2で、他は0である。その桁和は各項2なので
$$\sum_{k=1}^{80}f(2\cdot3^{k-1})=80\cdot2=160.$$
最後に、3進法表示の末尾に2を付けることから $f(3k+2)=f(k)+2$ であり、この関係は $k=0$ にも成り立つ。したがって
$$\sum_{k=0}^{80}f(3k+2)=\sum_{k=0}^{80}f(k)+81\cdot2=324+162=486.$$
以上よりチツテは324、トナニは160、ヌネノは486である。