白衣のものさし
数学 過去問問題を探す

秋田大学／2023年度

2秋田大学 2023年 数学 第2問解答・解説

微分・積分の考え

難易度必答 レベル 2/10 目安 10分編集部の評価

対象教育文化医学科は解かない

1問題

秋田大学2023年度第2問
放物線 C:y=x2−4x+3C:y=x^{2}-4x+3 がある。次の問いに答えなさい。

(i) 放物線 CC 上の xx 座標が 1 である点における接線の方程式、および xx 座標が 5 である点における接線の方程式をそれぞれ求めなさい。

(ii) 放物線 CC と (i) の 2 つの接線とで囲まれた部分の面積を求めなさい。

出典：秋田大学 2023年度 数学 第2問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)
    x=1x=1 の点：y=−2x+2y=-2x+2、x=5x=5 の点：y=6x−22y=6x-22
  • (ii)
    163\dfrac{16}{3}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

2 本の接線の交点の xx 座標は、接点の xx 座標の平均 3 になる。面積は交点の左右で分けて積分し、放物線と接線の差が (x−接点)2(x-\text{接点})^{2} になることを使う。

解答

(i)

y′=2x−4y'=2x-4。x=1x=1 の点は (1, 0)(1,\,0) で傾き −2-2 だから y=−2x+2y=-2x+2。x=5x=5 の点は (5, 8)(5,\,8) で傾き 66 だから y=6x−22y=6x-22。

(ii)

2 本の接線の交点は −2x+2=6x−22-2x+2=6x-22 より x=3x=3。放物線と接線の差は
(x2−4x+3)−(−2x+2)=(x−1)2,(x2−4x+3)−(6x−22)=(x−5)2 (x^{2}-4x+3)-(-2x+2)=(x-1)^{2},\qquad (x^{2}-4x+3)-(6x-22)=(x-5)^{2}
だから、求める面積は
∫13(x−1)2 dx+∫35(x−5)2 dx=83+83=163. \int_{1}^{3}(x-1)^{2}\,dx+\int_{3}^{5}(x-5)^{2}\,dx=\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 接線の方程式
  • 定積分と面積

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

この問題、本番の試験なら？

まだない教材・つくるか検討中

秋田大学 数学 解き方の作戦パック

  • 過去 10 年分の全大問に、レベル・目安時間・「必答／勝負／捨て可」
  • 年度ごとの「この順番で解く」と時間配分
  • 各問の発想の由来と、ほかの大学の似た問題

押すだけ・無料・登録なし

見本：東京大学 2026 年度の作戦を見る →

次にやること

同じ年度の次の問題第3問へ進む場合の数と確率・数学と人間の活動（整数）

秋田大学のほかの年度

202520242022

似た問題を、ほかの大学で