7秋田大学 2022年 数学 第7問解答・解説

$\alpha=\sqrt3+i,\quad \beta=2\sqrt3+2i=2\alpha$ とおくと $\beta-\alpha=\alpha,\quad |\alpha|=2$。
（i）$A=(\sqrt3,1),\ B=(2\sqrt3,2)$ であり、$Z=(x,y)$ とする。垂直二等分線上の点は $A,B$ からの距離が等しいから
$$(x-\sqrt3)^2+(y-1)^2=(x-2\sqrt3)^2+(y-2)^2.$$
両辺を展開して整理すると
$$\boxed{\sqrt3x+y=6}.$$
（ii）$q:=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}$ とおく。条件から
$$\left|\frac{z-\beta}{z-\alpha}\right|=|q|=1$$
なので $AZ=BZ=s$ とおける。また
$$\frac{\beta-z}{\alpha-z}=\frac{z-\beta}{z-\alpha}=q$$
より $\angle AZB=2\pi/3$。余弦定理と $AB=|\beta-\alpha|=2$ から
$$4=AB^2=s^2+s^2-2s^2\cos\frac{2\pi}{3}=3s^2, \qquad s=\frac{2}{\sqrt3}.$$
したがって面積は
$$[\triangle ABZ]=\frac12s^2\sin\frac{2\pi}{3}=\frac12\cdot\frac43\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\boxed{\frac1{\sqrt3}}.$$
（iii）$\triangle ABZ$ が正三角形となるには、辺 $AB$ を表すベクトル $\beta-\alpha=\alpha$ を点 $A$ を始点とする長さ等しいベクトルにし、角 $\pm\pi/3$ だけ回転すればよい。よって
$$z-\alpha=\alpha\left(\cos\frac{\pi}{3}\pm i\sin\frac{\pi}{3}\right)=\alpha e^{\pm i\pi/3}.$$
ここで $\alpha=2e^{i\pi/6}$ だから、正符号のとき $z=\alpha+2e^{i\pi/2}=\sqrt3+3i$、負符号のとき $z=\alpha+2e^{-i\pi/6}=2\sqrt3$。したがって
$$\boxed{z=2\sqrt3,\quad \sqrt3+3i}.$$

複素数を座標表示して距離の二乗を等置し、垂直二等分線を求める。複素比の絶対値と偏角から二等辺三角形の等辺・頂角を得て、余弦定理と面積公式で面積を計算する。正三角形の第三頂点はABの方向を±π/3回転して求める。