4広島大学 2022年 数学 第4問解答・解説

$n$ を自然数とする。袋の中に赤玉が3個、白玉が $n+5$ 個、合計で $n+8$ 個の玉が入っている。また、空箱 $A,B,C,D,E,F$ が用意されている。この準備の下で次の試行1、試行2を順に行う。

試行1 袋から玉を1個取り出して、箱 $A$ に入れる。箱 $A$ に入れた玉が白玉なら $i=0$、赤玉なら $i=1$ とおく。

試行2 次に、袋から白玉を $n$ 個取り出して、箱 $B$ に入れる。この時点で、袋に残った玉7個のうち、赤玉は $3-i$ 個、白玉は $4+i$ 個である。この7個の中から2個の玉を取り出して、箱 $C$ に入れる。

試行2を終えたら、箱 $A$ と箱 $C$ の玉の色を記録して、箱 $A,B,C$ の玉をすべて元通り袋に戻す。そして次の試行3を行う。

試行3 袋から玉を1個取り出して、箱 $D$ に入れる。次に、袋から玉を $n$ 個取り出して、箱 $E$ に入れる。最後に袋から玉を2個取り出して、箱 $F$ に入れる。

このとき、次の問いに答えよ。
(1) $i=0$ であったとき、試行2において箱 $C$ に赤玉が2個入る条件付き確率 $p_0$ を求めよ。また、$i=1$ であったとき、試行2において箱 $C$ に赤玉が2個入る条件付き確率 $p_1$ を求めよ。
(2) 試行1において、箱 $A$ に赤玉が入る確率 $q_A$ を $n$ を用いて表せ。また、試行1、試行2を順に行うとき、箱 $C$ に赤玉が2個入る確率 $q_C$ を $n$ を用いて表せ。
(3) 試行3において、箱 $D$ に赤玉が入るという事象を事象 $X$、箱 $E$ に入る玉がすべて白であるという事象を事象 $Y$、箱 $F$ に赤玉が2個入るという事象を事象 $Z$ と呼ぶことにする。事象 $X$ と事象 $Y$ がともに起こる確率 $P(X\cap Y)$ を $n$ を用いて表せ。また、事象 $Y$ と事象 $Z$ がともに起こる確率 $P(Y\cap Z)$ を $n$ を用いて表せ。
(4) (3) の事象 $Y$ が起こったとき、(3) の事象 $X$ が起こる条件付き確率 $P_Y(X)$ と、(3) の事象 $Z$ が起こる条件付き確率 $P_Y(Z)$ をそれぞれ求めよ。