3秋田大学 2023年 数学 第3問解答・解説

取り出し方は全部で ${}_{9}\mathrm{C}_{2}=36$ 通り。(i) は 3 で割った余りで分類する。(ii) は $S$ の範囲 $3\leqq S\leqq17$ の素数ごとに数える。(iii) は $S^{2}+36=m^{2}$ を $(m-S)(m+S)=36$ と因数分解する。

取り出し方は ${}_{9}\mathrm{C}_{2}=36$ 通りで、どれも同様に確からしい。

(i)

3 で割った余りが 0、1、2 のカードはそれぞれ 3 枚ずつある。$S$ が 3 の倍数になるのは、余り 0 どうし（${}_{3}\mathrm{C}_{2}=3$ 通り）か、余り 1 と余り 2（$3\cdot3=9$ 通り）のときで、12 通り。確率は $\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$。

(ii)

$3\leqq S\leqq17$ の素数は 3、5、7、11、13、17 で、それぞれの組の数は
$$S=3:1,\quad S=5:2,\quad S=7:3,\quad S=11:4,\quad S=13:3,\quad S=17:1$$
の計 14 通り。確率は $\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}$。

(iii)

$\sqrt{S^{2}+36}=m$（$m$ は正の整数）とすると $(m-S)(m+S)=36$。$m-S$ と $m+S$ は偶奇が等しく、$0<m-S<m+S$ だから $m-S=2,\ m+S=18$、よって $S=8$。和が 8 になる組は $\{1,\,7\}$、$\{2,\,6\}$、$\{3,\,5\}$ の 3 通りで、確率は $\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}$。