5大阪大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

$b_{1}=a_{1}$ であり、出る目は 1 から 6 のいずれかで 7 の倍数でないから、$\boxed{p_{1}=0}$。
$b_{2}=a_{1}^{2}+a_{2}$ である。

$a_{1}=1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6$ に対して $a_{1}^{2}$ を 7 で割った余りは、それぞれ $1,\,4,\,2,\,2,\,4,\,1$ である。従って $b_{2}$ が 7 の倍数となる $a_{2}$ は順に $6,\,3,\,5,\,5,\,3,\,6$ であり、各 $a_{1}$ にちょうど一つある。36 通り中 6 通りなので、$\boxed{p_{2}=\dfrac{1}{6}}$。

(2)

定義式から
$$b_{n+1}=a_{1}b_{n}+a_{n+1}$$
である。$a_{1}$ は 1 から 6 のいずれかであり、7 と互いに素だから、$a_{1}b_{n}$ が 7 の倍数であることと $b_{n}$ が 7 の倍数であることは同じである。
ここで初めの $n$ 回の出目を固定して考える。
$b_{n}$ が 7 の倍数なら $a_{1}b_{n}$ も 7 の倍数であり、次の目 $a_{n+1}$（1 から 6 のいずれか）を加えて 7 の倍数になることはない。
$b_{n}$ が 7 の倍数でなければ $a_{1}b_{n}$ を 7 で割った余りは 1 から 6 のいずれかであり、それを打ち消す次の目がちょうど一つ存在する。次のさいころはそれまでの出目と独立なので、その確率は $\dfrac{1}{6}$ である。
従って
$$p_{n+1}=0\cdot p_{n}+\dfrac{1}{6}(1-p_{n}),\qquad p_{n+1}-\dfrac{1}{7}=-\dfrac{1}{6}\left(p_{n}-\dfrac{1}{7}\right).$$
$p_{1}=0$ より $p_{n}-\dfrac{1}{7}=-\dfrac{1}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$。よって
$$\boxed{p_{n}=\dfrac{1}{7}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}\right\}\quad(n\geqq1)}.$$
$a_{1}$ と $b_{n}$ の独立性は仮定せず、過去の出目を固定して次の 1 投だけを数えることで漸化式を導いた。